每日一题[1092]双曲线的相交面积定义

已知直线 $l$ 与双曲线 $\dfrac{x^2}4-y^2=1$ 相切于点 $P$$l$ 与双曲线的两条渐近线交于 $M,N$ 两点,则 $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}$ 的值为(  

A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.以上答案都不对


cover正确答案是A

分析与解 法一

根据双曲线的相交直线面积定义,双曲线的方程改写为\[\dfrac{x^2}{2}-2y^2=2,\]可得 $\triangle MON$ 的面积为定值 $2$.记 $\angle MON=\theta$,则\[\tan\theta=\dfrac{2\cdot \dfrac 12}{1-\left(\dfrac 12\right)^2}=\dfrac 43,\]进而\[\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=S_{\triangle MON}\cdot \dfrac{2}{\tan\theta}=3.\]

法二  $M(2m,m)$$N(2n,-n)$,则根据双曲线的相交直线面积定义,有 $P\left(m+n,\dfrac{m-n}2\right)$,于是\[\dfrac{(m+n)^2}{4}-\left(\dfrac{m-n}2\right)^2=1,\]\[mn=1,\]因此\[\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=2m\cdot 2n+m\cdot (-n)=3mn=3.\]

 双曲线的相交直线面积定义

坐标平面 \(xOy\) 内双曲线 \(H:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\)(\(a,b>0\))可以看作是直线 \(l_1:y=\dfrac bax\) 上一点 \(A\) 和直线 \(l_2:y=-\dfrac bax\) 上一点 \(B\) 形成的线段 \(AB\) 的中点的轨迹,在 \(l_1,l_2\) 形成的包含 \(x\) 轴的对角区域内的部分,其中 \(\triangle AOB\) 的面积为定值 \(ab\).

读者可以自行推导证明.

由此容易得到当直线 \(AB\) 上有且只有一个点(即线段 \(AB\) 的中点)在双曲线上,因此弦 \(AB\) 与双曲线相切于弦的中点.

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