每日一题[1095]隔河相望

已知函数 $f(x)={\log_a}x$,直线 $y=\dfrac{1}{\rm e}x$ 与函数 $f(x)$ 的图象相切.函数 $g(x)$ 为函数 $f(x)$ 的反函数.

1)当 $x>0$ 时,若 $\dfrac{f(x)}{x}\leqslant k\leqslant \dfrac{g(x)}{x}$ 恒成立,求 $k$ 的最大值 $K_0$

2)对于 $(1)$ 中的 $K_0$,求证:$\dfrac{f(x)}{g(x)}<K_0^{-\frac{13}6}$


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分析与解 函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{1}{x\ln a}.\]直线 $y=\dfrac{1}{\rm e}x$ 与函数 $f(x)$ 的图象的切点横坐标为 $t$,则\[\dfrac{1}{t\ln a}=\dfrac 1{\rm e},{\log_a}t=\dfrac{1}{\rm e}t,\]解得 $(a,t)=({\rm e},{\rm e})$.因此 $f(x)=\ln x$$g(x)={\rm e}^x$.根据题意,有\[\forall x>0,\dfrac{\ln x}{x}\leqslant k\leqslant \dfrac{{\rm e}^x}{x},\]于是\[\max_{x>0}\left\{\dfrac{\ln x}{x}\right\}\leqslant k\leqslant \min_{x>0}\left\{\dfrac{{\rm e}^x}{x}\right\},\]\[\dfrac{1}{\rm e}\leqslant k\leqslant {\rm e},\]因此 $K_0={\rm e }$

 2欲证不等式即\[\dfrac{\ln x}{{\rm e}^x}<{\rm e}^{-\frac{13}6},\]也即\[{\rm e}^{x-\frac{13}6}>\ln x.\]考虑两个函数分别位于 $x=\dfrac 53$ $x=\sqrt{\rm e}$ 处的切线,有\[\begin{split} {\rm e}^{x-\frac{13}{6}}&\geqslant \dfrac{1}{\sqrt{\rm e}}\cdot \left(x-\dfrac 53\right)+\dfrac{1}{\sqrt{\rm e}},\\\ln x&\leqslant \dfrac{1}{\sqrt{\rm e}}\cdot \left(x-\sqrt{\rm e}\right)+\dfrac 12,\end{split}\]
于是只需要证明\[\dfrac{1}{\sqrt{\rm e}}\cdot \left(-\dfrac 53\right)+\dfrac{1}{\sqrt{\rm e}}>\dfrac{1}{\sqrt{\rm e}}\cdot \left(-\sqrt{\rm e}\right)+\dfrac 12,\]\[{\rm e}>\dfrac{16}9,\]因此命题得证.

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