每日一题[1097]本质不变

函数 $f(x)=ax^2-2016x+2017$($a>0$)在区间 $[t-1,t+1]$ 上函数 $f(x)$ 的最大值为 $M(t)$,最小值为 $m(t)$,函数 $h(t)=M(t)-m(t)$ 的最小值为 $1$,则 $a$ 的值是(  )

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.以上答案都不对


正确答案是 A.
考虑到平移函数 $f(x)$ 的图象不改变问题的本质,直接考虑 $f(x)=ax^2$.此时有\[\begin{split} h(t)&=M(t)-m(t)\\&\geqslant \dfrac{f(t+1)+f(t-1)}2-f(t)\\&=a,\end{split}\]等号当 $t=0$ 时可以取得.因此 $h(t)$ 的最小值为 $a$,所以 $a$ 的值为 $1$.


最后给出一道练习:

函数 $f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)$ 的最小值为______.

正确答案是$-1$

分析 函数 $f(x)$ 的最小值与函数 $f\left(x-\dfrac 32\right)$ 的最小值相同,而\[f\left(x-\dfrac 32\right)=\left(x^2-\dfrac 94\right)\cdot \left(x^2-\dfrac 14\right),\]\[f\left(x-\dfrac 32\right)=\left(x^2-\dfrac 54\right)^2-1,\]因此所求函数的最小值为 $-1$

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