每日一题[1096]各有千秋

已知正数 $x,y$ 满足 $2xy=\dfrac{2x-y}{2x+3y}$,那么 $y$ 的最大值是_______.


正确答案是$\dfrac 13$.

分析与解 法一 根据题意,有\[4yx^2+\left(6y^2-2\right)x+y=0,\]其判别式\[\Delta=4\left(9y^2-1\right)\left(y^2-1\right)\geqslant 0,\]于是\[0\leqslant y\leqslant \dfrac 13\lor y\geqslant 1.\]若 $y\geqslant 1$,则关于 $x$ 的方程\[4yx^2+\left(6y^2-2\right)x+y=0\]没有正根,与题意不符.
而当 $x=\dfrac 12$ 时,$y=\dfrac 13$,因此所求 $y$ 的最大值为 $\dfrac 13$.

法二 根据题意,有\[\dfrac{2x-y}{2xy}=2x+3y,\]即\[\dfrac 1y-3y=2x+\dfrac{1}{2x},\]因此\[\dfrac 1y-3y\geqslant 2,\]进而可得 $y\leqslant \dfrac 13$,等号当 $x=\dfrac 12$ 时取得.因此所求的最大值为 $\dfrac 13$.

法三 设 $x=ky$,则\[2ky^2=\dfrac{2k-1}{2k+3},\]因此\[y^2=\dfrac{2k-1}{4k^2+6k}=\dfrac{1}{2k-1+\dfrac{4}{2k-1}+5}\leqslant \dfrac 19,\]等号当 $k=\dfrac 32$ 时取得.因此 $y$ 的最大值为 $\dfrac 13$.

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