每日一题[1100]端点分析

已知函数 $f(x)=\ln (1+x)-\dfrac{ax}{1-x}$,其中 $a$ 是实数.
(1)当 $a=1$ 时,求函数 $f(x)$ 的单调区间;
(2)若 $-1<x<1$ 时,均有 $f(x)\leqslant 0$ 成立,求实数 $a$ 的取值范围.


cover分析与解 (1)函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{x^2-(a+2)x+1-a}{(x-1)^2(x+1)},\]当 $a=1$ 时,有\[f'(x)=\dfrac{x(x-3)}{(x-1)^2(x+1)},\]于是\[\begin{array} {c|cccccc}\hline
x&(-1,0)&0&(0,1)&(1,3)&3&(3,+\infty)\\ \hline
f'(x)&+&0&-&-&0&+\\ \hline
f(x)&\nearrow&{\rm lmax}&\searrow&\searrow&{\rm lmin}&\nearrow \\ \hline \end{array}\]于是函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(-1,0)$ 和 $(3,+\infty)$;单调递减区间是 $(0,1)$ 和 $(1,3)$.
(2)端点分析,有\[\begin{array}{c|ccc}\hline
&x\to -1& x=0& x\to 1-\\ \hline
f(x)& -\infty&0&-\infty(a>0)\\ \hline
x^2-(a+2)x+1-a & 4 &1-a & -2a \\ \hline
\end{array}\]于是讨论分界点为 $a=0,1$.
情形一 $a\leqslant 0$.此时\[f\left(\dfrac 12\right)=\ln\dfrac 32-a>0,\]不符合题意.
情形二 $0<a<1$.此时记关于 $x$ 的方程\[x^2-(a+2)x+1-a=0\]的两个零点分别为 $x_1,x_2$ 且\[0<x_1<1<x_2.\]在区间 $(0,x_1)$ 上,有 $f'(x)>0$,$f(x)$ 单调递增,结合 $f(0)=0$ 可知不符合题意.
情形三 $a=1$.此时在区间 $(-1,0)$ 上 $f'(x)>0$,在区间 $(0,1)$ 上 $f'(x)<0$,因此在区间 $(-1,1)$ 上有\[f(x)\leqslant f(0)=0,\]符合题意.
情形四 $a>1$.此时记关于 $x$ 的方程\[x^2-(a+2)x+1-a=0\]的两个零点分别为 $x_3,x_3$ 且\[-1<x_3<0<1<x_4.\]在区间 $(x_3,0)$ 上,有 $f'(x)<0$,$f(x)$ 单调递减,结合 $f(0)=0$ 可知不符合题意.
综上所述,实数 $a$ 的取值范围是 $\{1\}$.

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