椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的内接八边形的最大面积为_______．
每日一题[1355]根系关系
已知函数 $f(x)=2ax^2+3b$（$a,b\in\mathbb R$）满足对任意 $x\in [-1,1]$，都有 $|f(x)|\leqslant 1$ 成立，则 $ab$ 的最大值是______．
每日一题[1354]不在中边路
已知 $x,y\geqslant 0$，且 $x+y=4$，则 $m=(x^2+1)(y^2+1)$ 的最小值为_______．
每日一题[1353]葫芦兄弟
已知 $a,b,c$ 为整数，$24\mid a^3+b^3+c^3$，求证：$120\mid a^5+b^5+c^5+4(a+b+c)$．
每日一题[1352]必要条件探路
已知对任意的 $x\in\mathbb R$，$3a(\sin x+\cos x)+2b\sin 2x\leqslant 3$（$a,b\in\mathbb R$）恒成立，则当 $a+b$ 取得最小值时，$a$ 的值是_______．
每日一题[1351]论证与构造
若 $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$ 是 $1,2,3,4,5,6$ 的一个排列，则\[S=|x_1-x_2|+|x_2-x_3|+|x_3-x_4|+|x_4-x_5|+|x_5-x_6|+|x_6-x_1|\]的最小值为_______；$S$ 的最大值为_______．
每日一题[1350]消元
已知 $x,y>0$，$xy\geqslant 1$，且 $x+y+\dfrac{10}{xy}=12$，则 $m=\dfrac{10}{x}+\dfrac{10}{y}+xy$ 的最小值为_______．
每日一题[1349]疏剪
从 $1,2,\cdots,2018$ 中取 $k$ 个不同的数，其中任意 $2$ 个数的商不等于 $\dfrac 32$，那么 $k$ 的最大值为_______．
每日一题[1348]齐次消元
已知 $a,b,c\in\mathbb R^+$，解方程组\[\begin{cases}ca=20(b+c),\\ bc=5(a+b),\\ ab=6(c+a).\end{cases}\]
每日一题[1347]三角消元
已知正实数 $a,b$ 满足 $a^2+b^2=1$，则 $m=\dfrac{a^3+b^3+1}{(a+b+1)^3}$ 的取值范围为_______．