每日一题[1350]消元

已知 $x,y>0$,$xy\geqslant 1$,且 $x+y+\dfrac{10}{xy}=12$,则 $m=\dfrac{10}{x}+\dfrac{10}{y}+xy$ 的最小值为_______.

答案    $21$.

解析    根据题意,有\[\begin{split} m&=\dfrac{10(x+y)}{xy}+xy\\ &=\dfrac{10\left(12-\dfrac{10}{xy}\right)}{xy}+xy\\ &=t-\dfrac{100}{t^2}+\dfrac{120}{t},\end{split}\]其中 $t=xy$,且\[12-\dfrac{10}{t}=x+y\geqslant 2\sqrt{t}\geqslant 2,\]解得\[1\leqslant t\leqslant \dfrac 52\left(7+3\sqrt 5\right),\]考虑到\[m'_t=\dfrac{(t-10)(t+5+3\sqrt 5)(t+5-3\sqrt 5)}{t^3},\]于是 $m$ 的最小值为 $21$,当 $t=1$ 或 $t=10$ 时取得.

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