每日一题[1351]论证与构造

若 $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$ 是 $1,2,3,4,5,6$ 的一个排列,则\[S=|x_1-x_2|+|x_2-x_3|+|x_3-x_4|+|x_4-x_5|+|x_5-x_6|+|x_6-x_1|\]的最小值为_______;$S$ 的最大值为_______.

答案    $10$;$18$.

解析    最小值    设 $x_i$ 最大,$x_j$ 最小,不妨设 $i<j$,则\[\begin{split} S&=\underbrace{|x_i-x_{i+1}|+\cdots+|x_{j-1}-x_j|}+\underbrace{|x_{j}-x_{j+1}|+\cdots+|x_{i-1}-x_i|}\\ &\geqslant 2|x_i-x_j|\\ &=10,\end{split}\]例如若 $x_3$ 最大,$x_5$ 最小,则将 $S$ 改写为\[S=\underbrace{|x_3-x_4|+|x_4-x_5|}+\underbrace{|x_5-x_6|+|x_6-x_1|+|x_1-x_2|+|x_2-x_3|},\]再应用绝对值不等式.由于等号当题中排列为 $6,5,4,3,2,1$ 时可以取得,因此所求最小值为 $10$.

最大值    考虑 $S$ 的各个绝对值“展开”后为 $12$ 个数前面添上正负号($6$ 个正号和 $6$ 个负号)后的和,于是\[S\leqslant 2(4+5+6)-2(1+2+3)=18,\]等号当题中排列为 $6,1,5,2,4,3$ 时取得,因此所求最大值为 $18$.

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