每日一题[1741]蛰伏的心

过抛物线 $y=x^2$ 上的一点 $A(1,1)$ 作抛物线的切线,分别交 $x$ 轴于 $D$,交 $y$ 轴于 $B$,点 $C$ 在抛物线上,点 $E$ 在线段 $AC$ 上,满足 $\dfrac{AE}{EC}=\lambda_1$,点 $F$ 在线段 $BC$ 上,满足 $\dfrac{BF}{FC}=\lambda_2$,且 $\lambda_1+\lambda_2=1$,线段 $CD$ 与 $EF$ 交于点 $P$,当点 $C$ 在抛物线上移动时,求点 $P$ 的轨迹方程.

答案    $y=\dfrac 13(3x-1)^2$,$x\ne \dfrac 23$.

解析    根据题意,有 $A:y=2x-1$,于是 $B(0,-1)$,$D\left(\dfrac 12,0\right)$,$D$ 为 $AB$ 中点.设 $\dfrac{CP}{CD}=\lambda$,则有\[\overrightarrow{CP}=\lambda\overrightarrow{CD}=\dfrac 12\lambda\overrightarrow{CB}+\dfrac 12\lambda\overrightarrow{CA},\]再设 $\dfrac{EP}{EF}=\mu$,则\[\overrightarrow{CP}=(1-\mu)\overrightarrow{CE}+\mu\overrightarrow{CF}=\dfrac{1-\mu}{1+\lambda_1}\overrightarrow{CA}+\dfrac{\mu}{1+\lambda_2}\overrightarrow{CB},\]从而\[\dfrac 12\lambda=\dfrac{1-\mu}{1+\lambda_1}=\dfrac{\mu}{1+\lambda_2}\implies \begin{cases} \lambda=\dfrac 23,\\ \mu=\dfrac{1+\lambda_2}{3},\end{cases}\]因此 $P$ 为 $\triangle ABC$ 的重心.设 $P(x,y)$,则 $C(3x-1,3y)$($x=\ne\dfrac 23$),从而所求轨迹方程为\[3y=(3x-1)^2\iff y=\dfrac 13(3x-1)^2,\]其中 $x\ne \dfrac 23$.

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