按要求作答：
1、求证：对于任意实数 $x,y,z$ 都有 $x^2+2y^2+3z^2\geqslant\sqrt{3}\left(xy+yz+zx\right)$．
2、是否存在实数 $k>\sqrt{3}$，使得对于任意实数 $x,y,z$ 下式恒成立？\[x^2+2y^2+3z^2\geqslant k\left(xy+yz+zx\right)\]试证明你的结论．
把 $1,2,\cdots,n^2$ 按照顺时针螺旋方式排成 $n$ 行 $n$ 列的表格 $T_n$，第一行是 $1,2,\cdots,n,$ 例如\[T_3=\begin{bmatrix}1&2&3\\8&9&4\\7&6&5\end{bmatrix}.\]设 $2018$ 在 $T_{100}$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列，则 $\left(i,j\right)=$_______．
设 $H$ 是 $\triangle ABC$ 的垂心，且 $3\overrightarrow{HA}+4\overrightarrow{HB}+5\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}$，则 $\cos\angle AHB =$ _______．
在边长为 $1$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 内部有一小球，该小球与正方体的对角线 $AC_1$ 相切，则小球半径的最大值为_______．
函数 $f(x)=\left|\sin\left(2x\right)+\sin\left(3x\right)+\sin\left(4x\right)\right|$ 的最小正周期为_______．
证明：
1、$\dfrac 1{2^k} + \dfrac 1{2^k+1} + \dfrac 1{2^k+2} + \dots +\dfrac 1{2^{k+1}-1} <1$（$k \geqslant 2$，$k \in \mathbb N^{\ast}$）．
2、分别以 $1,\dfrac 12,\dfrac 13,\cdots,\dfrac 1n,\cdots$ 为边长的正方形能互不重叠地全部放入一个边长为 $\dfrac 32$ 的正方形内．
已知椭圆 $C$：$\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率 $e=\dfrac {\sqrt 2}2$，直线 $y=2x-1$ 与 $C$ 交于 $A,B$ 两点，且 $\lvert AB \rvert=\dfrac {8\sqrt5}9$．
1、求椭圆 $C$ 的方程．
2、过点 $M(2,0)$ 的直线 $l$（斜率不为零）与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $E,F$，求 $\triangle OME$ 与 $\triangle OMF$ 的面积之比 $\lambda$ 的取值范围．
顺次连接圆 $x^2+y^2=9$ 与双曲线 $xy=3$ 的交点，得到一个凸四边形，则此凸四边形的面积为_______．
若实数 $a$ 使得不等式 $\lvert x-2a \rvert+\lvert 2x-a \rvert \geqslant a^2$ 对任意实数 $x$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是_______．
如图，在 $\triangle ABD$ 中，点 $C$ 在 $AD$ 上，$\angle ABC= \dfrac {\pi}2$，$\angle DBC= \dfrac {\pi}6$，$AB=CD=1$，则 $AC=$_______．
