每日一题[1529]方程计算

如图,在 $\triangle ABD$ 中,点 $C$ 在 $AD$ 上,$\angle ABC= \dfrac {\pi}2$,$\angle DBC= \dfrac {\pi}6$,$AB=CD=1$,则 $AC=$_______.

答案       $\sqrt[3]2$.

解析       设 $AC=x$,则 $BC=\sqrt{x^2-1}$,且\[\sin D=\sin\left(\dfrac{\pi}3-A\right)=\dfrac{\sqrt 3}2\cdot \dfrac 1x-\dfrac 12\cdot \dfrac{\sqrt{x^2-1}}x=\dfrac{\sqrt 3-\sqrt{x^2-1}}{2x},\]进而在 $\triangle BCD$ 中应用正弦定理,有\[\dfrac{BC}{\sin D}=\dfrac{CD}{\sin\angle DBC}\iff \dfrac{\sqrt{x^2-1}}{\dfrac{\sqrt 3-\sqrt{x^2-1}}{2x}}=\dfrac{1}{\dfrac 12},\]整理得\[(x+2)(x^3-2)=0,\]于是 $x=\sqrt[3]2$.

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