Math173

已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$ 的右、上顶点分别为 $A,B$，$B,D$ 是椭圆上两点，且直线 $AC,BD$ 的斜率互为相反数，求证：直线 $CD$ 的斜率为定值．

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已知双曲线 $\dfrac{x^2}4-y^2=1$ 上的动点 $A$，过 $A$ 作两条渐近线的平行线分别交双曲线 $\dfrac{x^2}4-y^2=-1$ 于 $B,C$ 两点，求证：直线 $BC$ 过定点．

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已知椭圆 $\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}9=1$ 的右、下顶点分别为 $A,B$，$P$ 是椭圆内一动点，且直线 $PA,PB$ 的斜率之积为 $-\dfrac 14$，直线 $AP,BP$ 分别交椭圆于不同于 $A,B$ 的点 $M,N$，求证：$\triangle PMN$ 与 $\triangle PAB$ 的面积相等．

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已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$ 的下顶点为 $C(0,-1)$，点 $D\left(-\dfrac 85,-\dfrac 35\right)$ 是椭圆上的顶点，点 $P$ 是椭圆上的动点，直线 $PC,PD$ 分别交 $x$ 轴于点 $M,N$，求证：$x$ 轴上存在两定点 $A,B$，使 $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{NB}$ 为定值．

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已知椭圆 $\dfrac{x^2}9+\dfrac{y^2}4=1$ 的上、左、下、右顶点分别为 $A,B,C,D$，点 $P$ 是椭圆上第一象限内的一动点，直线 $PD$ 与直线 $MN$ 交于点 $M$，直线 $PA$ 与过 $C$ 且与 $x$ 轴平行的直线交于点 $N$，求证：$MN\parallel CD$．

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已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$，$A,B$ 分别是椭圆的左顶点和上顶点，$P,Q$ 是椭圆上关于原点 $O$ 对称的两点，直线 $PA$ 交 $y$ 轴于点 $M$，直线 $QA$ 交直线 $y=\sqrt 3$ 于点 $N$，求证：$MN\parallel BP$．

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已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 过 $A(2,0)$，$B(0,1)$ 两点．

1、求椭圆 $C$ 的方程及离心率．

2、设 $P$ 为第三象限内一点且在椭圆 $C$ 上，直线 $PA$ 与 $y$ 轴交于点 $M$，直线 $PB$ 与 $x$ 轴交于点 $N$，求证：四边形 $ABNM$ 的面积为定值．

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已知抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F$，定点 $P(4,0)$，过 $F$ 作直线交抛物线于点 $A,B$，直线 $PA,PB$ 分别交抛物线于不同于 $A,B$ 的点 $C,D$，弦 $AB,CD$ 的中点分别为 $M,N$，则 $\tan\angle MON$ 的最小值为_____．

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已知抛物线 $y=x^2$ 以及圆 $P:x^2+(y-2)^2=1$，从抛物线上一点 $A$ 引圆 $O$ 的两条切线分别交抛物线于不同于点 $A$ 的点 $B,C$，连接 $BC$．

1、求证：直线 $BC$ 与圆 $P$ 相切；

2、求证：$\triangle ABC$ 的外接圆与直线 $y=0$ 相切．

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已知抛物线 $y^2=2x$ 上一点 $A(2,2)$，圆 $M:(x-2)^2+y^2=1$，过 $A$ 作圆 $M$ 的两条切线分别交抛物线于不同于 $A$ 点的点 $B,C$，则直线 $BC$ 的方程为_____．

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