2025年高考全国II卷 #11
已知双曲线 $C: \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$ b>0$）的左、右焦点为 $F_1, F_2$，左、右顶点为 $A_1, A_2$，以 $F_1 F_2$ 为直径的圆与 $C$ 的一条渐近线交于 $M,N$，且 $\angle N A_1 M=\dfrac{5 \pi}{6}$，则（ ）
A．$\angle A_1 M A_2=\dfrac{\pi}{6}$
B．$\left|M A_1\right|=2\left|M A_2\right|$
C．$C$ 离心率为 $\sqrt{13}$
D．当 $a=\sqrt{2}$ 时，四边形 $N A_1 M A_2$ 面积为 $8 \sqrt{3}$
已知集合 $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$，$ M=\left\{\left(x_i, y_i\right) \mid x_i \in A, y_i \in A\right\}$，从 $M$ 中选出 $n$ 构成一列：\[\left(x_1, y_1\right), \cdots,\left(x_n, y_n\right).\]相邻两项 $\left(x_i, y_i\right),\left(x_{i+1}, y_{i+1}\right)$ 满足：\[\big( \left|x_{i+1}-x_i\right|,\left|y_{i+1}-y_i\right|\big)=(3,4),~\text{或}~(4,3),\]称为 $k$ 列．
1、若 $k$ 列的第一项为 $(3,3)$，求第二项；
2、若 $\tau$ 为 $k$ 列，且满足 $i$ 为奇数时，$x_i \in\{1,2,7,8\} $；$i$ 为偶数时，$x_i \in\{3,4,5,6\} ;$ 判断：$(3,2)$ 与 $(4,4)$ 能否同时在 $\tau$ 中，并说明；
3、证明：不存在包含 $M$ 中所有元素的 $k$ 列．
关于定义域为 $\mathbb R$ 的函数 $f(x)$，以下说法正确的有_____．
① 存在在 $\mathbb R$ 上单调递增的函数 $f(x)$ 使得 $f(x)+f(2x)=-x$ 恒成立；
② 存在在 $\mathbb R$ 上单调递减的函数 $f(x)$ 使得 $f(x)+f(2x)=-x$ 恒成立；
③ 使得 $f(x)+f(-x)=\cos x$ 恒成立的函数 $f(x)$ 存在且有无穷多个；
④ 使得 $f(x)-f(-x)=\cos x$ 恒成立的函数 $f(x)$ 存在且有无穷多个．
已知抛物线 $y^2=4x$ 上一点 $M(1,-2)$，作过点 $M$ 的定直线 $l$，点 $Q$ 是抛物线上动点，过点 $Q$ 作 $x$ 轴的平行线交直线 $l$ 于点 $B$，过 $Q$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足为 $A$，若 $\dfrac{|MB|^2}{|MA|}$ 为定值，求直线 $l$ 的方程．
已知抛物线 $y=x^2$ 上两点 $A\left(-\dfrac 12,\dfrac 14\right),B\left(\dfrac 32,\dfrac 94\right)$，$P$ 为抛物线上的动点（横坐标在 $A,B$ 的横坐标之间），点 $B$ 在直线 $AP$ 上的投影为 $Q$，则 $|PA|\cdot |PQ|$ 的最大值为_____．
如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}(-c,0)$，$F_{2}(c,0)$．已知 $(1,e)$ 和 $\left(e,\dfrac{\sqrt 3}{2}\right)$ 都在椭圆上，其中 $e$ 为椭圆的离心率．
1、求椭圆的离心率．
2、设 $A,B$ 是椭圆上位于 $x$ 轴上方的两点，且直线 $AF_{1}$ 与直线 $BF_{2}$ 平行，$AF_{2}$ 与 $BF_{1}$ 交于点 $P$．
① 若 $|AF_{1}|-|BF_{2}|=\dfrac{\sqrt 6}{2}$，求直线 $AF_{1}$ 的斜率；
② 求证：$|PF_{1}|+|PF_{2}|$ 是定值．
已知椭圆 $\dfrac{x^2}6+\dfrac{y^2}3=1$ 上的点 $A(\sqrt 2,\sqrt 2),B(2,-1)$，$P$ 为椭圆上的动点，延长线段 $AO,BO$ 分别与线段 $PB,PA$ 交于点 $M,N$，求证：$|AM|\cdot |BN|$ 为定值．
已知点 $A,B$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}2=1$ 上关于原点 $O$ 对称的两点，点 $P$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{12}+\dfrac{y^2}{6}=1$ 上一点，线段 $PA,PB$ 分别交椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}2=1$ 于不同于 $A,B$ 的点 $M,N$，若 $\overrightarrow{AB}=t\overrightarrow{MN}$，则 $\lambda=$_____．
已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$ 的左、右顶点分别为 $A,B$，$P$ 为椭圆上一动点，$O$ 为坐标原点，若椭圆上点 $M,N$ 满足 $OM\parallel AP$ 且 $ON\parallel BP$，求证：$\triangle OMN$ 的面积是定值．
设椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{2\sqrt 2}3$，下顶点为 $A$，右顶点为 $B$，$|A B|=\sqrt{10}$．
1、求椭圆 $C$ 的标准方程；
2、已知动点 $P$ 不在 $y$ 轴上，点 $R$ 在射线 $AP$ 上，且满足 $|AP|\cdot |AR|=3$．
① 设 $P(m,n)$，求点 $R$ 的坐标（用 $m,n$ 表示）；
② 设 $O$ 为坐标原点，$Q$ 是 $C$ 上的动点，直线 $OR$ 的斜率为直线 $OP$ 的斜率的 $3$ 倍，求 $|PQ|$ 的最大值．
