Math173

已知椭圆 $\dfrac{x^2}2+y^2=1$ 的右焦点 $F(1,0)$，过定点 $P(2,0)$ 的直线与椭圆交于 $A,B$ 两点，直线 $FA,FB$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，求证：$k_1+k_2$ 为定值．

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已知焦点在 $x$ 轴上，中心在原点 $O$，离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 的椭圆经过点 $M(2,1)$，动点 $A, B$（不与点 $M$ 重合）均在椭圆上，且直线 $M A$ 与 $M B$ 的斜率之和为 $1$．

1、求椭圆的方程；

2、求证：直线 $A B$ 经过定点．

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已知在 $\triangle ABC$ 中，$B=\dfrac{2\pi}3$，$BC>AB$，点 $D$ 满足 $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DC}$，且 $BD=1$，则 $AC$ 的取值范围是_____．

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设 $a=\cos x+\cos(2x)+\cos(3x)$，$b=\sin x+\sin(2x)+\sin(3x)$，则 $a^2+b^2$ 的最大值是_____，最小值是_____．

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已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，斜率不为 $0$ 的直线交椭圆于 $A,B$ 两点（$A$ 在 $B$ 的左侧），直线 $F_1A,F_1B$ 的斜率互为相反数．

1、求证：直线 $l$ 过定点；

2、设直线 $F_1B,F_2A$ 相交于点 $M$，求证：$|MF_2|-|MF_1|$ 为定值．

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已知椭圆 $E$ 的焦点在 $x$ 轴上，中心为原点 $O$，经过点 $A\left(\sqrt{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right), B(0,1)$．

1、求 $E$ 的标准方程；

2、定义：若椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上的两个点 $M\left(x_1, y_1\right), N\left(x_2, y_2\right)$ 满足 $\dfrac{x_1 x_2}{a^2}+\dfrac{y_1 y_2}{b^2}=0$，则称 $M, N$ 为该椭圆的一个共轭点对，记作 $[M, N]$．

① 证明；存在两个点 $G$ 使得 $[A, G]$ 是 $E$ 的共轭点对，并求 $G$ 的坐标：

② 设 ① 中的两个点 $G$ 分別为 $G_1, G_2$，已知过点 $P(2,1)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于 $C, D$ 两点，则直线 $G_1 G_2$ 上是否存在定点 $Q$，使得直线 $Q C$ 与 $Q D$ 的斜率之积为定值．若存在，求出 $Q$ 的坐标：若不存在，请说明理由．

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已知平面直角坐标系 $x O y$ 上一动点 $Q$ 满足 $|Q E|-|Q F|=2 \sqrt{2}$，$E(-\sqrt{3}, 0), F(\sqrt{3}, 0) $．

1、求点 $Q$ 的轨迹 $C$ 的方程；

2、斜率为 $ -1 $ 的直线与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，点 $P(2,1)$．

① 求直线 $A P,B P$ 的斜率之和；

② $\triangle P A B$ 的外接圆圆心 $M$ 是否在某定直线上？说明理由．

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已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的首项 $a_1=1$，$ a_{n+1}=\begin{cases} a_n-n, & a_n>n, \\ a_n+n, & a_n \leqslant n,\end{cases}$ 将所有满足 $a_k=100$ 的正整数 $k$ 从小到大排列得到数列 $\{b_n\}$，则（       ）

A．存在无穷多项 $a_n$，使得 $a_n=n$

B．对于任意正整数 $m$，存在 $n$，使得 $a_n=m$

C．数列 $\left\{b_n\right\}$ 的最小项不小于 $100$

D．不存在 $m$，使得 $\left\{b_n-m\right\}$ 是等比数列

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已知对任意实数 $x\geqslant 2$，都有 $x^2+x+a\geqslant a^2+a\sqrt{x+2}$，则实数 $a$ 的取值范围是_____．

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2026年1月广东深中华附四校联考高三数学试卷#19

已知 $a\in \mathbb R$，函数 $f(x)=(x+1)\ln (x+1)-a\sin x$．

1、讨论函数 $f(x)$ 在区间 $(0,\pi)$ 内的零点个数；

2、若 $\exists a\in[0,1]$，使得 $f(x-1)+a x^2\leqslant\dfrac 1 2 b\mathrm e^{b x}$ 对 $\forall x\in(1,+\infty)$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围；

3、若方程 $f(x-1)=(x+1)\ln x-2 a x$（$a>0$）有两个不相等的实根 $x_1,x_2$，求证：$x_1\cdot x_2<\dfrac 1{a^2}$．

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