2026年湖南长沙市高三期末数学试卷 #16
如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中，平面 $PAC\perp~\text{平面}~ABC$，$\triangle PAC$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，$AB=2\sqrt 2$，$\angle BAC=45^{\circ}$．
1、证明：$BC\perp PA$；
2、若线段 $PC$ 上的点 $Q$ 满足直线 $AP$ 与直线 $BQ$ 所成角的余弦值为 $\dfrac{\sqrt 5}{10}$，求点 $Q$ 到直线 $AB$ 的距离．
2026年湖南长沙市高三期末数学试卷 #14
已知点 $A,B,C,D$ 均在半径为 $\sqrt 2$ 的球 $O$ 的球面上，$AB\perp AC$，$BC=2$，$AD=\sqrt 6$，则四面体 $D-ABC$ 的体积的最大值为 _____．
2026年湖南长沙市高三期末数学试卷 #11
已知直线 $l$ 与圆 $C:(x-5)^2+y^2=9$ 相切于点 $P$，与抛物线 $E: y^2=2 x$ 相交于 $M,N$ 两点，点 $F$ 为拋物线 $E$ 的焦点．下列说法正确的是（ ）
A．记点 $M$ 的横坐标为 $x_M$，则 $|MP|=\left|x_M-4\right|$
B．$|MN|$ 的最小值为 $4$
C．当点 $P$ 在直线 $x=4$ 的左侧时，$\triangle MNF$ 的周长为定值 $9$
D．当点 $P$ 在直线 $x=4$ 的右侧时，$\triangle MNF$ 的周长有最小值 $25$
2026年湖南长沙市高三期末数学试卷 #7
已知某四棱锥的一条侧棱垂直于底面，其底面为平行四边形，且 $8$ 条棱的长度构成的集合为 $\{1,\sqrt 2,\sqrt 3\}$，则满足条件的四棱锥的个数为（ ）
A．$2$
B．$4$
C．$6$
D．$8$
2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #19
若共有 $k$（$k\geqslant 2$）项的数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足\[\forall i\in\mathbb N^{\ast},2\leqslant i\leqslant k,\left|a_i-a_{i-1}\right|\leqslant 2,\]则称 $\left\{a_n\right\}$ 为保守数列．记 $T_m$ 为 $1,2,\cdots,m$ 随机排列后所能形成的所有保守数列的总个数，$S_m$ 为 $1,2,\cdots,m$ 随机排列后所能形成的所有以 $1$ 为首项的保守数列的总个数．特别地，$S_1=T_1=1$．
1、求 $S_4,T_4$；
2、求 $\left\{S_{n+3}-S_{n+2}-S_n\right\}$ 的通项公式；
3、求 $\left\{T_{n+3}-T_{n+2}-T_n\right\}$ 的通项公式．
2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #18
已知 $a>0$，函数 $f_a(x)=\sin x+\sin (ax)$，当 $a\in\mathbb Q$ 时，$f_a(x)$ 最大值为 $M_a$；当 $a\notin\mathbb Q$ 时，记 $M_a=2$．
1、求 $M_3$；
2、讨论 $f_{\pi}(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{16\pi}{\pi+1}\right)$ 的极值点个数；
3、证明：$M_a\geqslant M_3$．
2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #17
设抛物线 $C: y^2=2 p x$（$p>0$）的焦点为 $F$，准线为 $l: x=-1$，点 $A\left(x_1,y_1\right),B\left(x_2,y_2\right)$（$y_2>y_1\geqslant 0$）在 $C$ 上，直线 $AB$ 与 $l$ 交于点 $M$，且 $A$ 是 $BM$ 的中点．
1、求 $C$ 的方程；
2、求 $\triangle BFM$ 面积的最小值；
3、若 $\angle MFB=\dfrac{2\pi}3$，求点 $A$ 的坐标．
2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #16
在四边形 $ABCD$ 中，$AB=1$，$BC=2$，$CD=3$，$DA=4$，$AC,BD$ 交于点 $O$．
1、求 $2\cos\angle DAB-3\cos\angle DCB$ 的值；
2、求四边形 $ABCD$ 面积的最大值；
3、求 $\tan\angle AOB$ 的最大值．
2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #15
如图，在平面中，$AB=AC=AD=AE=EC=2$，$BC=2\sqrt 3$，$AD\perp AB$．将 $\triangle DAB,\triangle EAC,\triangle FBC$ 分别沿 $AB,AC,BC$ 折起，形成三棱锥 $P-ABC$．
1、证明：平面 $PBC\perp~\text{平面}~ABC$；
2、记三棱锥 $P-ABC$ 的外接球球心为 $O$，$PB,PC$ 的中点分别为 $M,N$，过点 $O,M,N$ 的平面与 $AP$ 交于点 $H$．
① 求 $\dfrac{AH}{AP}$；
② 求四棱锥 $P-OMHN$ 的体积．
