Math173

已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，圆 $F_1:(x+1)^2+y^2=16$，过 $F_1$ 的直线分别交椭圆、圆于 $x$ 轴上方的点 $P,R$，直线 $PF_2$ 交椭圆于不同于 $P$ 的点 $Q$，若 $\triangle F_2PR$ 的面积与 $\triangle QF_1F_2$ 的面积之比为 $\dfrac 35$，则点 $P$ 的坐标为_____．

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已知抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F$，圆 $F$ 的半径 $r=1$，过 $F$ 的直线与抛物线及圆分别交于 $A,B$ 和 $C,D$（顺次为 $A,C,D,B$）．

1、求证：$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}$ 为定值；

2、设 $O$ 为坐标原点，$\triangle OAC$ 与 $\triangle OBD$ 的面积之比为 $4$，求 $|AB|$．

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将一段长为 $1$ 的绳子对折 $n$ 次（$n\in\mathbb N^{\ast}$），然后从中间剪断，可以得到_____段绳子，它们的长度分别是_____．

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已知抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F$，过 $F$ 作互相垂直的直线分别交抛物线于 $A,B$ 和 $C,D$，弦 $AB,CD$ 的中点分别为 $M,N$，直线 $AC,BD$ 交于点 $G$，求 $\triangle GMN$ 的面积的最小值．

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有下列命题：

① $\exists x\in A,x\in B$；

② $\exists x\in A,x\notin B$；

③ $\forall x\in A,x\in B$；

④ $\forall x\in A,x\notin B$．

$(1)$ 当 $A=\varnothing$ 时，一定是真命题的有____，一定是假命题的有____；

$(2)$ 当 $B=\varnothing$ 时，一定是真命题的有____，一定是假命题的有____．

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