设正实数 $a,b,c$ 满足 $a\leqslant b \leqslant c$，且 $a^2+b^2+c^2=9$．证明：$abc+1>3a$．
作斜率为 $\dfrac 13$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C:\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{4}=1$ 交于 $A,B$ 两点（如图所示），且 $P\left(3\sqrt 2,\sqrt 2\right)$ 在直线 $l$ 的左上方．
1、证明：$\triangle{PAB}$ 的内切圆的圆心在一条定直线上．
2、若 $\triangle{APB}=60^{\circ}$，求 $\triangle{PAB}$ 的面积．
已知 $a_n=\mathop{\rm C}\nolimits_{200}^n\cdot (\sqrt[3]6)^{200-n}\cdot \left(\dfrac 1{\sqrt 2}\right)^n$（$n=1,2,\cdots ,95$），则数列 $\{a_n\}$ 中整数项的个数为_______．
答案 $15$．
解析 由条件知\[a_n=\mathop{\rm C}\nolimits_{200}^n\cdot 3^{\frac{200-n}{3}}\cdot 2^{\frac{400-5n}{6}}.\]要使 $a_n$（$n=1,2,\cdots,95$）为整数，必有 $\dfrac{200-n}{3},\dfrac{400-5n}{6}$ 均为整数，从而$$6\mid n+4.$$
情形一 当 $n=2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80$ 时，$\dfrac{200-n}{3}$ 和 $\dfrac{400-5n}{6}$ 均为非负整数，所以 $a_n$ 为整数，共有 $14$ 个．
情形二 当 $n=86$ 时，$$a_{86}=\mathop{\rm C}\nolimits_{200}^{86}\cdot 3^{38}\cdot 2^{-5},$$在 $\mathop{\rm C}\nolimits_{200}^{86}=\dfrac{200!}{86!\cdot 114!}$ 中，$200!$ 中因数 $2$ 的个数为$$\left[\dfrac{200}{2}\right]+\left[\dfrac{200}{2^2}\right]+\left[\dfrac{200}{2^3}\right]+\left[\dfrac{200}{2^4}\right]+\left[\dfrac{200}{2^5}\right]+\left[\dfrac{200}{2^6}\right]+\left[\dfrac{200}{2^7}\right]=197,$$ 同理可计算得 $86!$ 中因数 $2$ 的个数为 $82$，$114!$ 中因数 $2$ 的个数为 $110$，所以 $\mathop{\rm C}\nolimits_{200}^{86}$ 中因数 $2$ 的个数为$$197-82-110=5,$$故 $a_{86}$ 是整数．
情形三 当 $n=92$ 时，$$a_{92}=\mathop{\rm C}\nolimits_{200}^{92}\cdot 3^{36}\cdot 2^{-10},$$在 $\mathop{\rm C}\nolimits_{200}^{92}=\dfrac{200!}{92!\cdot 108!}$ 中，同样可求得 $92!$ 中因数 $2$ 的个数为 $88$，$108!$ 中因数 $2$ 的个数为 $105$，故 $\mathop{\rm C}\nolimits_{200}^{86}$ 中因数 $2$ 的个数为$$197-88-105=4,$$故 $a_{92}$ 不是整数． 因此，整数项的个数为 $14+1=15$．
求所有的正实数对 $(a,b)$，使得函数 $f(x)=ax^{2}+b$ 满足：对任意实数 $x,y$，有\[f(xy)+f(x+y)\geqslant f(x)f(y).\]
直线 $x-2y-1=0$ 与抛物线 $y^2=4x$ 交于 $A,B$ 两点，$C$ 为抛物线上的一点，$\angle{ACB}=90^{\circ}$，则点 $C$ 的坐标为_______．
已知数列 $\{a_n\}$ 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数 $n$，都有$$(a_1+a_2+\cdots+a_n)^2=a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3.$$
1、当数列 $\{a_n\}$ 为三项数列时，求所有满足条件的数列 $a_1,a_2,a_3$．
2、是否存在满足条件的无穷数列 $\{a_n\}$，使得 $a_{2013}=-2012$？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．
过抛物线 $y=x^2$ 上的一点 $A(1,1)$ 作抛物线的切线，分别交 $x$ 轴于 $D$，交 $y$ 轴于 $B$，点 $C$ 在抛物线上，点 $E$ 在线段 $AC$ 上，满足 $\dfrac{AE}{EC}=\lambda_1$，点 $F$ 在线段 $BC$ 上，满足 $\dfrac{BF}{FC}=\lambda_2$，且 $\lambda_1+\lambda_2=1$，线段 $CD$ 与 $EF$ 交于点 $P$，当点 $C$ 在抛物线上移动时，求点 $P$ 的轨迹方程．
数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac {\pi}{6}$，$a_{n+1}=\arctan (\sec a_n)$（$n \in \mathbb N^{\ast}$）．求正整数 $m$，使得$$\sin a_1 \cdot \sin a_2 \cdots \sin a_m=\dfrac {1}{100}.$$
设等边三角形 $ABC$ 的内切圆半径为 $2$，圆心为 $I$．若点 $P$ 满足 $PI=1$，则 $\triangle APB$ 与 $\triangle APC$ 的面积之比的最大值为_______．
设实数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=1$，$abc>0$．求证：\[ab+bc+ca<\dfrac {\sqrt {abc}}{2}+\dfrac 14.\]
