平面上有三个点集 $M,N,P$：\[\begin{split} M&=\{(x,y)\mid |x|+|y|<1\},\\ N&=\{(x,y)\mid \left\{\sqrt{\left(x-\dfrac 12\right)^2+\left(y+\dfrac 12\right)^2}+\sqrt{\left(x+\dfrac 12\right)^2+\left(y-\dfrac 12\right)^2}<2\sqrt 2\right\},\\ P&=\{(x,y)\mid |x+y|<1,|x|<1,|y|<1\},\end{split}\]则（ ）
A．$M\subsetneqq P\subsetneqq N$
B．$M\subsetneqq N\subsetneqq P$
C．$P\subsetneqq P\subsetneqq M$
D．以上答案均不正确
现有边长为 $3,4,5$ 的三角形两个，边长分别为 $4,5,\sqrt{41}$ 的三角形四个，边长分别为 $\dfrac{5\sqrt 2}6,4,5$ 的三角形六个，用上述三角形为面，可以拼成_______个不同的四面体．
已知集合 $A=\big\{(x,y)\mid |x|+|y|=a,a>0\big\}$，$B=\big\{(x,y)\mid |xy|+1=|x|+|y|\big\}$．若 $A\cap B$ 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则 $a$ 的值为_______．
设非零复数 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ 满足\[\begin{cases} \dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{a_3}{a_2}=\dfrac{a_4}{a_3}=\dfrac{a_5}{a_4},\\ a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=4\left(\dfrac 1{a_1}+\dfrac 1{a_2}+\dfrac 1{a_3}+\dfrac 1{a_4}+\dfrac 1{a_5}\right)=S,\end{cases}\]其中 $S$ 为实数且 $|S|\leqslant 2$．求证：复数 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ 在复平面上所对应的点位于同一圆周上．
设双曲线 $xy=1$ 的两支为 $C_1,C_2$，其中 $C_1$ 位于第一象限，$C_2$ 位于第三象限，正 $\triangle PQR$ 的三顶点位于此双曲线上．
1、求证：$P,Q,R$ 不能都在双曲线的同一支上．
2、设 $P(-1,-1)$ 在 $C_2$ 上，$Q,R$ 在 $C_1$ 上，求顶点 $Q,R$ 的坐标．
设 $f(x)=x^2-\pi x$，$\alpha=\arcsin\dfrac 13$，$\beta=\arctan\dfrac 54$，$\gamma=\arccos\left(-\dfrac 13\right)$，$\delta=\mathop{\rm arccot}\left(-\dfrac 54\right)$，则（ ）
A．$f(\alpha)>f(\beta)>f(\delta)>f(\gamma)$
B．$f(\alpha)>f(\delta)>f(\beta)>f(\gamma)$
C．$f(\delta)>f(\alpha)>f(\beta)>f(\gamma)$
D．$f(\delta)>f(\alpha)>f(\gamma)>f(\beta)$
已知抛物线 $y^2=2px$ 及定点 $A(a,b)$，$B(-a,0)$（$ab\ne 0$，$b^2\ne 2pa$），$M$ 是抛物线上的点，设直线 $AM,BM$ 与抛物线的另一交点分别为 $M_1,M_2$，求证：当点 $M$ 在抛物线上变动时（只要 $M_1,M_2$ 存在且 $M_1\ne M_2$），直线 $M_1M_2$ 恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．
已知当 $x\in[0,1]$ 时，不等式 $x^2\cos\theta-x(1-x)+(1-x)^2\sin\theta>0$ 恒成立，试求 $\theta$ 的取值范围．
设曲线 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1$（$a$ 为正的常数）与 $C_2:y^2=2(x+m)$ 在 $x$ 轴上方有一个公共点 $P$．
1、求实数 $m$ 的取值范围（用 $a$ 表示）．
2、$O$ 为原点，若 $C$ 与 $x$ 轴的负半轴交于点 $A$，当 $0<a<\dfrac 12$ 时，试求 $\triangle OAP$ 的面积的最大值（用 $a$ 表示）．
设二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$（$a,b,c\in\mathbb R$，$a\ne 0$）满足条件：
① 当 $x\in\mathbb R$ 时，$f(x-4)=f(2-x)$，且 $f(x)\geqslant x$；
② 当 $x\in(0,2)$ 时，$f(x)\leqslant \left(\dfrac{x+1}2\right)^2$；
③ $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上的最小值为 $0$．
求最大的 $m$，使得存在 $t\in\mathbb R$，只要 $x\in[1,m]$，就有 $f(x+t)\leqslant x$．
