已知二次函数 $f(x)=x^2+bx+c$ 的图象过点 $(1,13)$，且函数 $y=f\left(x-\dfrac 12\right)$ 是偶函数．
1、求 $f(x)$ 的解析式．
2、函数 $y=f(x)$ 的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
已知关于 $x$ 的方程 $|x-k|=\dfrac{\sqrt 2}{2}k\sqrt x$ 在区间 $[k-1,k+1]$ 上有两个不相等的实根，则实数 $k$ 的取值范围是_______．
对一切满足 $|x|+|y|\leqslant 1$ 的实数 $x,y$，不等式 $\left|2x-3y+\dfrac 32\right|+|y-1|+|2y-x-3|\leqslant a$ 恒成立，则实数 $a$ 的最小值为_______．
一种密码锁的密码设置是在正 $n$ 边形 $A_1A_2\cdots A_n$ 的每个顶点处赋值 $0$ 和 $1$ 两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？
答案 $3^n+2+(-1)^n$．
解析
引入映射 对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上 $a$，如果颜色不同，则标上 $b$，如果数字和颜色都相同，则标上 $c$．于是对于给定的点 $A_1$ 上的设置（共有 $4$ 种），按照边上的字母可以依次确定点 $A_2,A_3,\cdots,A_n$ 上的设置．为了使得最终回到 $A_1$ 时的设置与初始时相同，标有 $a$ 和 $b$ 的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记 $a,b,c$，使得标有 $a$ 和 $b$ 的边都是偶数条的方法数的 $4$ 倍．
开始计数 设标有 $a$ 的边有 $2i$ 条，$0\leqslant i \leqslant \left[\dfrac n2\right]$，标有 $b$ 的边有 $2j$ 条，则\[0\leqslant j \leqslant \left[\dfrac {n-2i}{2}\right],\]选取 $2i$ 条边标记 $a$ 的有 $\mathop{\rm C}\nolimits_n^{2i}$ 种方法，在余下的边中取出 $2j$ 条边标记 $b$ 的有 $\mathop{\rm C}\nolimits_{n-2i}^{2j}$ 种方法，其余的边标记 $c$．由乘法原理，此时共有 $\mathrm C_n^{2i}\mathrm C_{n-2i}^{2j}$ 种标记方法．对 $i,j$ 求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为\[f(n)=4\sum \limits_{i=1}^{\left[\frac n2\right]}\left(\mathop{\rm C}\nolimits_n^{2i}\sum \limits_{j=0}^{\left[\frac {n-2i}{2}\right]}\mathop{\rm C}\nolimits_{n-2i}^{2j}\right),\]这里我们约定 $\mathop{\rm C}\nolimits_0^{0}=1$．
化简计算
情形一 当 $n$ 为奇数时，$n-2i>0$，此时$$\sum \limits_{j=0}^{\left[\frac {n-2i}{2}\right]}\mathop{\rm C}\nolimits_{n-2i}^{2j}=2^{n-2i-1},$$从而\[f(n)=4\sum \limits_{i=0}^{\left[\frac n2\right]}\left(\mathop{\rm C}\nolimits_n^{2i}2^{n-2i-1}\right)=2\sum \limits_{i=0}^{\left[\frac n2\right]}\left(\mathrm C_n^{2i}2^{n-2i}\right)=\sum \limits_{k=0}^{n}\mathop{\rm C}\nolimits_ n^{k}2^{n-k}+\sum \limits_{k=0}^{n}\mathop{\rm C}\nolimits_ n^{k}2^{n-k}(-1)^k=3^n+1.\]
情形二 当 $n$ 为偶数时，若 $i <\dfrac n2$，与奇数情形类似；若 $i=\dfrac n2$，则正 $n$ 边形的所有边都标记 $a$，此时只有一种标记方法．于是当 $n$ 为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为\[f(n)=4\left(1+\sum \limits_{i=0}^{\left[\frac n2\right]-1} (\mathop{\rm C}\nolimits_n^{2i}2^{n-2i-1})\right)= 2+4\sum \limits_{i=0}^{ \left[\frac n2\right]}(\mathop{\rm C}\nolimits_ n^{2i}2^{n-2i-1})=3^n+3.\]
综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数 $3^n+2+(-1)^n$．
已知二次函数 $f_1(x)=x^2-ax+b$，$f_2(x)=x^2-bx+c$，$f_3(x)=x^2-cx+a$．设 $a,b,c$ 都是正整数，求所有的可能的有序三元组 $(a,b,c)$，使得 $f_1(x)=0$，$f_2(x)=0$，$f_3(x)=0$ 均有整数根．
给定整数 $n>2$，设正实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 满足 $a_k \leqslant 1$，$k=1,2,\cdots,n$，记 $A_k=\dfrac {a_1+a_2+\cdots+a_k}{k}$，$k=1,2,\cdots,n$．求证：$\displaystyle \left|\sum \limits_{k=1}^{n}a_k-\sum \limits_{k=1}^{n}A_k \right|<\dfrac {n-1}{2}$．
设 $k$ 是给定的正整数，$r=k+\dfrac 12$．记 $f^{(1)}(r)=f(r)=r\lceil r \rceil$，$f^{(l)}(r)=f(f^{(l-1)}(r)) $，$l \geqslant 2$．证明：存在正整数 $m$，使得 $f^{(m)}(r)$ 为一个整数．这里 $\lceil x \rceil$ 表示不小于实数 $x$ 的最小整数，例如：$\left\lceil \dfrac 12 \right\rceil=1$，$\lceil 1 \rceil=1$．
设 $A+B+C=180^{\circ}$，且满足：$\dfrac{\sin A+\sin B+\sin C}{\cos A+\cos B+\cos C}=1$，求 $\dfrac{\cos{2A}+\cos{2B}+\cos {2C}}{\cos A+\cos B+\cos C}$ 的值．
已知 $f(x)={\rm e}^x-x-1$（$\rm e$ 为自然对数的底数）．
1、求证：$f(x)\geqslant 0$ 恒成立．
2、求证：$\left(\dfrac 1{2n}\right)^n+\left(\dfrac 3{2n}\right)^n+\left(\dfrac 5{2n}\right)^n+\cdots +\left(\dfrac{2n-1}{2n}\right)^n<\dfrac{\sqrt{\rm e}}{{\rm e}-1}$ 对一切正整数 $n$ 均成立．
