每日一题[2231]韦达定理全家福

已知抛物线 $x^2=4y$,点 $A$ 在抛物线上,且在第一象限,以点 $A$ 为切点作抛物线的切线 $l$ 交 $x$ 轴于点 $B$,过点 $B$ 作垂直于 $l$ 的直线 $l'$ 交抛物线于 $C,D$ 两点,其中点 $C$ 在第一象限,设 $l'$ 与 $y$ 轴交于点 $K$.

1、若点 $A$ 的横坐标为 $2$,求切线 $l$ 的方程.

2、连接 $OC,OD,AK,AC$,记 $\triangle OKD,\triangle OKC,\triangle AKC$ 的面积为 $S_1,S_2,S_3$,求 $\dfrac{S_3}{S_2}\cdot \left(\dfrac{S_1}{S_2}-1\right)$ 的最小值.

解析

1、根据题意,有 $A(2,1)$,根据抛物线的切线方程,可得\[l:2x=2(y+1),\]即 $x-y-1=0$.

2、设 $A(4t,4t^2)$,则 $l:4tx=2(y+4t^2)$ 即 $l:2tx-y-4t^2=0$,进而 $B(2t,0)$,从而 $l':x+2ty-2t=0$.因此 $K(0,1)$.设 $C(4m,4m^2)$,$D(4n,4n^2)$,则\[\begin{cases} mn=-\dfrac 14,\\ m+n=-\dfrac{1}{2t},\end{cases}\]因此设 $\dfrac{S_1}{S_2}=\lambda$,则\[\lambda+\dfrac{1}{\lambda}-2=-\dfrac{(m+n)^2}{mn}=\dfrac{1}{t^2},\]而 $\lambda>1$,解得\[\lambda=1+\dfrac{1+\sqrt{4t^2+1}}{2t^2},\]且\[\dfrac{S_3}{S_2}=\dfrac{|4t+2t\cdot 4t^2-2t|}{|0+2t\cdot 0-2t|}=4t^2+1,\]因此\[\dfrac{S_3}{S_2}\cdot \left(\dfrac{S_1}{S_2}-1\right)=(4t^2+1)\cdot \dfrac{1+\sqrt{4t^2+1}}{2t^2}=(s+1)^2\cdot \dfrac{2}{s}=2\left(s+\dfrac 1s+2\right)\geqslant 8,\]其中 $s=\sqrt{4t^2+1}-1$,等号当 $s=1$ 即 $t=\dfrac 12$ 时取得,因此所求最小值为 $8$.

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