已知抛物线 $C:y^2=2px$（$p>0$）的焦点为 $F$，准线与 $x$ 轴交于 $D$ 点，过点 $F$ 的直线与抛物线 $C$ 交于 $A,B$ 两点，且 $|FA|\cdot |FB|=|FA|+|FB|$．
1、求抛物线 $C$ 的方程． 设 $P,Q$ 是抛物线 $C$ 上的不同两点，且 $PF\perp x$ 轴，
2、直线 $PQ$ 与 $x$ 轴交于 $G$ 点，再在 $x$ 轴上截取线段 $|GE|=|GD|$，且点 $G$ 介于点 $E$ 与点 $D$ 之间，连接 $PE$，过点 $Q$ 作直线 $PE$ 的平行线 $l$，证明：$l$ 为抛物线 $C$ 的切线．
在三棱台 $ABC-DEF$ 中，$AB\perp AC$，$AB=2DE=2$，$AC=2\sqrt 2$，$CF=2$，且 $CF\perp ABC$，设 $P,Q,R$ 分别为棱 $AC,FC,BC$ 的中点．
1、证明：$BCD\perp PQR$．
2、求二面角 $E-BD-C$ 的正弦值．
$\left(x+\dfrac 1x-1\right)^5\cdot \left(x^2+1\right)$ 的展开式中的常数项为_______．
在四面体 $D-ABC$ 中，$AB=BC=CA=CD=2\sqrt 3$，$E$ 为 $BC$ 的中点，$AE\perp DE$，且 $DE=3$，则四面体 $D-ABC$ 的外接球的半径为（ ）
A．$\sqrt 2$
B．$\sqrt 3$
C．$\sqrt 6$
D．$\sqrt 5$
已知非负实数 $a,b$ 满足 $a+b=\dfrac 32$，则 $a^2b^2+\dfrac 94\left(a^2+b^2\right)$ 的最大值为（ ）
A．$\dfrac{49}{16}$
B．$\dfrac{243}{256}$
C．$\dfrac{81}{16}$
D．$\dfrac{729}{256}$
设 $\alpha\in [0,2\pi)$，存在整数 $a,b$，使得 $\cos\alpha,\sin\alpha$ 为一元二次方程 $x^2+ax+2b^2=0$ 的两个实根，则满足题意的 $\alpha$ 的个数为（ ）
A．$0$
B．$1$
C．$4$
D．前三个选项都不对
设 $a,b,c\in\mathbb R$，一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 两根之差的绝对值为 $10$，则 $ax^2+2bx+3c=0$ 两根之差的绝对值可能等于（ ）
A．$11$
B．$15$
C．$19$
D．前三个选项都不对
在平行四边形 $ABCD$ 中，$AC=2AB$，$K$ 为边 $AB$ 上一点，且 $\angle ADB=\angle BDK$，则 $\dfrac{BK}{CK}=$（ ）
A．$2$
B．$\dfrac 43$
C．$\dfrac 53$
D．前三个选项都不对
已知 $a_n=\dfrac{(2^3-1)(3^3-1)\cdots(n^3-1)}{(2^3+1)(3^3+1)\cdots(n^3+1)}$，$n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N^{\ast}$，则 $\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=$（ ）
A．$\dfrac 12$
B．$\dfrac 23$
C．$\dfrac 34$
D．前三个选项都不对
