$[x]$ 表示取数 $x$ 的整数部分，例如 $\left[\dfrac{15}{4}\right]=3$ 等，若\[y=4\left(\frac{x+[u]}{4}-\left[\frac{x+[u]}{4}\right]\right),\]且\[\begin{array}{c|c|c|c|c}\hline x&1,8,11,14& 2,5,12,15&3,6,9,16& 4,7,10,13\\ \hline y&1&2&3&0 \\ \hline\end{array}\] 则表达式中 $u$ 等于_______．
如图，已知曲线 $C_{1}: \dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$b>0$），$C_{2}: x^{2}+y^{2}=4+b^{2}$，两曲线交于点 $A\left(x_{A}, y_{A}\right)$．在两曲线上分别取 $|x|>\left|x_{A}\right|$ 构成曲线 $\Gamma$．
1、若 $x_{A}=\sqrt{6}$，求 $b$．
2、若 $b=\sqrt{5}$，圆与 $x$ 轴交点分别为 $F_{1}, F_{2}$，点 $P$ 在双曲线第一象限部分，且 $\left|P F_{1}\right|=8$，求 $\angle F_{1} P F_{2}$．
3、过点 $S\left(0, \dfrac{b^{2}}{2}+2\right)$ 斜率为 $-\dfrac{b}{2}$ 的直线 $l$ 与曲线 $\Gamma$ 交于 $M,N$ 两点，用 $b$ 表示 $\overrightarrow{O M} \cdot \overrightarrow{O N}$ 并求其取值范围．
已知平面向量 $\overrightarrow{a_{1}}, \overrightarrow{a_{2}}, \overrightarrow{b_{1}}, \overrightarrow{b_{2}}, \dots \overrightarrow{b_{k}}$（$k \in \mathbb{N}^{*}$）是平面内两两互不相等的向量，$\left|\overrightarrow{a_{1}}-\overrightarrow{a_{2}}\right|=1$，且对任意的 $i=1,2$ 及 $j=1,2, \dots, k$，$\left|\overrightarrow{a}_{i}-\overrightarrow{b_{j}}\right| \in\{1,2\}$，则 $k$ 最大值为_______．
设 $a \in \mathbb{R}$，若存在定义域为 $\mathbb{R}$ 的函数 $f(x)$ 满足：
① 对任意 $x_{0} \in \mathbb{R}$，$f\left(x_{0}\right)$ 的值为 $x_{0}$ 或 $x_{0}^{2}$；
② 关于 $x$ 的方程 $f(x)=a$ 无实数解，
则 $a$ 取值范围是_______．
已知 $1 < a \leqslant 2$，函数 $f(x) = {\mathrm e}^{x} - x - a $．其中 ${\rm e} \approx 2.718281828459 \cdots$ 是自然底数．
1、证明：$f(x)$ 在 $x>0$ 时，有唯一零点．
2、若 $x_0$ 为 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的零点．
① 求证：$\sqrt{a-1} \leqslant x_{0} \leqslant \sqrt{2(a-1)}$；
② 求证：$x_0 f\left({\rm e}^{x_0}\right) \geqslant ({\rm e} - 1)(a - 1)a$．
如图，已知椭圆 $C_{1}:\dfrac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$，抛物线 $C_{2}:y^{2}=2px$（$p>0$），点 $A$ 是椭圆 $C_{1}$ 与抛物线 $C_{2}$ 的交点，过点 $A$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C_{1}$ 于点 $B$，交抛物线 $C_{2}$ 于 $M$（$B, M$ 不同于 $A$）．
1、若 $p=\dfrac{1}{16}$，求抛物线 $C_{2}$ 的焦点坐标．
2、若存在不过原点的直线 $l$ 使 $M$ 为线段 $AB$ 的中点，求 $p$ 的最大值．
一个盒子里有 $1$ 个红 $1$ 个绿 $2$ 个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为 $\xi$，则 $P(\xi =0)=$ _______；$E(\xi)=$ _______．
设集合 $S,T$，$S\subseteq \mathbb N^{\ast}$，$T\subseteq \mathbb N^{\ast}$，$S,T$ 中至少有两个元素，且 $S,T$ 满足：
① 对于任意 $x,y\in S$，若 $x\neq y$，都有 $xy \in T$；
② 对于任意 $x,y\in T$，若 $x<y$，则 $\dfrac{y}{x} \in S$．
下列命题正确的是（ ）
A．若 $S$ 有 $4$ 个元素，则 $S \cup T$ 有 $7$ 个元素
B．若 $S$ 有 $4$ 个元素，则 $S \cup T$ 有 $6$ 个元素
C．若 $S$ 有 $3$ 个元素，则 $S \cup T$ 有 $4$ 个元素
D．若 $S$ 有 $3$ 个元素，则 $S \cup T$ 有 $5$ 个元素
甲口袋中装有 $2$ 个黑球和 $1$ 个白球，乙口袋中装有 $3$ 个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 $n$ 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 $X_n$，恰有 $2$ 个黑球的概率为 $p_n$，恰有 $1$ 个黑球的概率为 $q_n$．
1、求 $p_1,q_1$ 和 $p_2,q_2$．
2、求 $2p_n+q_n$ 与 $2p_{n-1}+q_{n-1}$ 的递推关系式和 $X_n$ 的数学期望 $E(X_n)$（用 $n$ 表示）．
在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知 $P\left(\dfrac{\sqrt 3}2,0\right)$，$A,B$ 是圆 $C:x^2+\left(y-\dfrac 12\right)^2=36$ 上的两个动点，满足 $PA=PB$，则 $\triangle PAB$ 的面积的最大值是_______．
答案 $10\sqrt 5$．
解析 不改变问题的本质，将问题改写为已知 $P$ 到半径 $r=6$ 的圆 $O$ 的圆心距离为 $1$，圆 $O$ 上有两动点 $A,B$，且 $PA=PB$，求 $\triangle PAB$ 面积的最大值． 由于 $OA=OB$，$PA=PB$，于是 $OP\perp AB$，设 $O$ 到 $AB$ 的距离为 $d$，则\[\begin{split}[PAB]&\leqslant \dfrac 12\left(1+d\right)\cdot 2\sqrt{r^2-d^2}\\ &=\sqrt{(r+d)(r-d)(1+d)(1+d)}\\ &=\dfrac1{\sqrt{\lambda\mu}}\sqrt{(6\lambda +\lambda d)(6\mu-\mu d)(1+d)(1+d)}\\ &\leqslant \dfrac{1}{\sqrt{\lambda\mu}}\sqrt{\left(\dfrac{6\lambda+6\mu+2+(\lambda-\mu+2)d}{4}\right)^4},\end{split}\]等号当 $O$ 位于 $P$ 到 $AB$ 的垂线段内部，且 \[6\lambda+\lambda d=6\mu-\mu d=1+d\]时取得，同时，令\[\lambda-\mu+2=0,\]解得 $(\lambda,\mu,d)=\left(\dfrac 12,\dfrac 52,4\right)$，有因此所求面积的最大值为\[\dfrac{1}{\sqrt{\lambda\mu}}\cdot \left(\dfrac{6\lambda+6\mu+2}4\right)^2=10\sqrt 5.\]
