每日一题[2157]平方数不定方程

定义 $\tau(n)$ 为 $n$ 的正约数的数量,则关于 $n$ 的方程\[\tau(n)+\tau(n+1)=7\]的最小的 $6$ 个正整数解的和为_______.

答案     $540$.

解析    $\tau(n)$ 为奇数等价于 $n$ 为完全平方数,于是 $n$ 和 $n+1$ 中有且仅有一个完全平方数.于是\[(n,n+1)=(m^2,m^2+1)\lor (n,n+1)=(m^2-1,m^2),\]将 $m=1,2,3,4$ 代入验证,可得 $n=8,9,16$ 符合题意. 当 $m\geqslant 5$ 时,若 $(n,n+1)=(m^2-1,m^2)$,则\[n=(m+1)(m-1),\]于是 $\tau(n)\geqslant 4$ 且等号取得的条件为 $m+1,m-1$ 均为素数,同时 $\tau(n+1)\geqslant 3$ 且等号取得的条件是 $m$ 为素数,而 $m+1,m,m-1$ 是连续的三个整数,其中必然有不小于 $4$ 的偶数,不可能均为素数,矛盾.因此 $(n,n+1)=(m^2,m^2+1)$.若 $m$ 为偶数,则 $n$ 的正约数有\[1,2,\dfrac m2,m,2m,\dfrac{m^2}2,m^2,\]于是\[\tau(n)+\tau(n+1)>\tan(n)\geqslant 7,\]矛盾.若 $m$ 为奇数,则此时\[\tau(n)=\tau(m^2)\geqslant 3,\]等号当且仅当 $m$ 为素数时取得,而 $n+1$ 的正约数有\[1,2,\dfrac{m^2+1}2,m^2+1,\]因此\[\tan(n+1)\geqslant 3,\]等号当且仅当 $\dfrac{m^2+1}2$ 是素数时取得. 综上所述,$n=m^2$,且 $m$ 和 $\dfrac{m^2+1}2$ 均为素数,其中最小的三个分别为 $m=5,11,19$,因此所求符合题意的最小的 $6$ 个正整数之和为\[8+9+16+5^2+11^2+19^2=540.\]

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