已知 $\left|\boldsymbol a\right|=\left|\boldsymbol a+2\boldsymbol b\right|=2$，求 $\left|2\boldsymbol a+\boldsymbol b\right|+\left|\boldsymbol b\right|$ 的最大值．
有一长、宽、高分别为正整数 $m, n, r$（$m \leqslant n \leqslant r$）的长方体，表面涂上红色后切成棱长为 $1$ 的正方体，已知不带红色的正方体个数与两面带红色的正方体个数之和，减去一面带红色的正方体个数得 $1985$．求 $m, n, r$ 的值．
$[x]$ 表示取数 $x$ 的整数部分，例如 $\left[\dfrac{15}{4}\right]=3$ 等，若\[y=4\left(\frac{x+[u]}{4}-\left[\frac{x+[u]}{4}\right]\right),\]且\[\begin{array}{c|c|c|c|c}\hline x&1,8,11,14& 2,5,12,15&3,6,9,16& 4,7,10,13\\ \hline y&1&2&3&0 \\ \hline\end{array}\] 则表达式中 $u$ 等于_______．
如图，已知曲线 $C_{1}: \dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$b>0$），$C_{2}: x^{2}+y^{2}=4+b^{2}$，两曲线交于点 $A\left(x_{A}, y_{A}\right)$．在两曲线上分别取 $|x|>\left|x_{A}\right|$ 构成曲线 $\Gamma$．
1、若 $x_{A}=\sqrt{6}$，求 $b$．
2、若 $b=\sqrt{5}$，圆与 $x$ 轴交点分别为 $F_{1}, F_{2}$，点 $P$ 在双曲线第一象限部分，且 $\left|P F_{1}\right|=8$，求 $\angle F_{1} P F_{2}$．
3、过点 $S\left(0, \dfrac{b^{2}}{2}+2\right)$ 斜率为 $-\dfrac{b}{2}$ 的直线 $l$ 与曲线 $\Gamma$ 交于 $M,N$ 两点，用 $b$ 表示 $\overrightarrow{O M} \cdot \overrightarrow{O N}$ 并求其取值范围．
已知平面向量 $\overrightarrow{a_{1}}, \overrightarrow{a_{2}}, \overrightarrow{b_{1}}, \overrightarrow{b_{2}}, \dots \overrightarrow{b_{k}}$（$k \in \mathbb{N}^{*}$）是平面内两两互不相等的向量，$\left|\overrightarrow{a_{1}}-\overrightarrow{a_{2}}\right|=1$，且对任意的 $i=1,2$ 及 $j=1,2, \dots, k$，$\left|\overrightarrow{a}_{i}-\overrightarrow{b_{j}}\right| \in\{1,2\}$，则 $k$ 最大值为_______．
设 $a \in \mathbb{R}$，若存在定义域为 $\mathbb{R}$ 的函数 $f(x)$ 满足：
① 对任意 $x_{0} \in \mathbb{R}$，$f\left(x_{0}\right)$ 的值为 $x_{0}$ 或 $x_{0}^{2}$；
② 关于 $x$ 的方程 $f(x)=a$ 无实数解，
则 $a$ 取值范围是_______．
已知 $1 < a \leqslant 2$，函数 $f(x) = {\mathrm e}^{x} - x - a $．其中 ${\rm e} \approx 2.718281828459 \cdots$ 是自然底数．
1、证明：$f(x)$ 在 $x>0$ 时，有唯一零点．
2、若 $x_0$ 为 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的零点．
① 求证：$\sqrt{a-1} \leqslant x_{0} \leqslant \sqrt{2(a-1)}$；
② 求证：$x_0 f\left({\rm e}^{x_0}\right) \geqslant ({\rm e} - 1)(a - 1)a$．
如图，已知椭圆 $C_{1}:\dfrac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$，抛物线 $C_{2}:y^{2}=2px$（$p>0$），点 $A$ 是椭圆 $C_{1}$ 与抛物线 $C_{2}$ 的交点，过点 $A$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C_{1}$ 于点 $B$，交抛物线 $C_{2}$ 于 $M$（$B, M$ 不同于 $A$）．
1、若 $p=\dfrac{1}{16}$，求抛物线 $C_{2}$ 的焦点坐标．
2、若存在不过原点的直线 $l$ 使 $M$ 为线段 $AB$ 的中点，求 $p$ 的最大值．
一个盒子里有 $1$ 个红 $1$ 个绿 $2$ 个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为 $\xi$，则 $P(\xi =0)=$ _______；$E(\xi)=$ _______．
