每日一题[2059]公共点集

已知平面向量 $\overrightarrow{a_{1}}, \overrightarrow{a_{2}}, \overrightarrow{b_{1}}, \overrightarrow{b_{2}}, \dots \overrightarrow{b_{k}}$($k \in \mathbb{N}^{*}$)是平面内两两互不相等的向量,$\left|\overrightarrow{a_{1}}-\overrightarrow{a_{2}}\right|=1$,且对任意的 $i=1,2$ 及 $j=1,2, \dots, k$,$\left|\overrightarrow{a}_{i}-\overrightarrow{b_{j}}\right| \in\{1,2\}$,则 $k$ 最大值为_______.

答案    $6$.

解析    设 $\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2}$ 分别为 $\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2}$,$\overrightarrow{b_j}$ 分别为 $\overrightarrow{OB_j}$($j=1,2,\cdots,k$),则 $|A_1A_2=1| $,且 $ B_j $ 在以 $ A_1 $ 为圆心半径分别为 $ 1,2 $ 的双圆 $ \Gamma_1 $ 与以 $ A_2 $ 为圆心半径分别为 $ 1,2 $ 的双圆 $ \Gamma_2 $ 的公共点集中,因此 $ k $ 的最大值为 $ 6$.

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