每日一题[2062]染色方程

有一长、宽、高分别为正整数 $m, n, r$($m \leqslant n \leqslant r$)的长方体,表面涂上红色后切成棱长为 $1$ 的正方体,已知不带红色的正方体个数与两面带红色的正方体个数之和,减去一面带红色的正方体个数得 $1985$.求 $m, n, r$ 的值.

答案    $(3,3,1981),(5,5,1981),(5,7,663),(1,3,1987),(1,7,399)$.

解析    情形一    若 $m\geqslant 2$,设 $m-2=a$,$n-2=b$,$r-2=c$,不带红色、一面带红色、两面带红色的正方体的个数分别为 $k_0,k_1,k_2$,则\[\begin{cases} k_0=abc,\\ k_1=2ab+2bc+2ca,\\ k_2=4a+4b+4c,\end{cases}\]根据题意,有\[k_0-k_1+k_2=1985\iff abc-2(ab+bc+ca)+4a+4b+4c=1985,\]即\[(a-2)(b-2)(c-2)=1977,\]而 $1977=3\cdot 659$,于是可得解\[(a-2,b-2,c-2)=(-1,-1,1977),(1,1,1977),(1,3,659),\]即\[(m,n,r)=(3,3,1981),(5,5,1981),(5,7,663).\]

情形二    若 $m=1$,则\[\begin{cases} k_0=0,\\ k_1=0,\\ k_2=(n-2)(r-2),\end{cases}\]根据题意,有\[k_0-k_1+k_2=1985\iff (n-2)(r-2)=1985,\]而 $1985=5\cdot 395$,于是\[(n-2,r-2)=(1,1985),(5,397),\]因此\[(m,n,r)=(1,3,1987),(1,7,399).\]

综上所述,$(m,n,r)$ 的值为 $(3,3,1981),(5,5,1981),(5,7,663),(1,3,1987),(1,7,399)$.

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