每日一题[2058]在劫难逃

设 $a \in \mathbb{R}$，若存在定义域为 $\mathbb{R}$ 的函数 $f(x)$ 满足：

① 对任意 $x_{0} \in \mathbb{R}$，$f\left(x_{0}\right)$ 的值为 $x_{0}$ 或 $x_{0}^{2}$；

② 关于 $x$ 的方程 $f(x)=a$ 无实数解，

则 $a$ 取值范围是_______．

答案    $(-\infty,0)\cup(0,1)\cup(1,+\infty)$．

解析    如图，当 $a\in \{0,1\}$ 时，对任何符合题意的 $f(x)$，方程 $f(x)=a$ 必然有实数解，因此所求 $a$ 的取值范围是 $\mathbb R^{\ast}\setminus \{0,1\}=(-\infty,0)\cup(0,1)\cup(1,+\infty)$．