每日一题[2058]在劫难逃

设 $a \in \mathbb{R}$,若存在定义域为 $\mathbb{R}$ 的函数 $f(x)$ 满足:

① 对任意 $x_{0} \in \mathbb{R}$,$f\left(x_{0}\right)$ 的值为 $x_{0}$ 或 $x_{0}^{2}$;

② 关于 $x$ 的方程 $f(x)=a$ 无实数解,

则 $a$ 取值范围是_______.

答案    $(-\infty,0)\cup(0,1)\cup(1,+\infty)$.

解析    如图,当 $a\in \{0,1\}$ 时,对任何符合题意的 $f(x)$,方程 $f(x)=a$ 必然有实数解,因此所求 $a$ 的取值范围是 $\mathbb R^{\ast}\setminus \{0,1\}=(-\infty,0)\cup(0,1)\cup(1,+\infty)$.

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