每日一题[2063]分段处理

已知方程 $2^x-\sin x=1$,则下列判断中正确的有(        )

A.方程没有正数解

B.方程有无穷多个解

C.方程有一个正数解

D.方程的实数解小于 $1$

答案    BCD.

解析    设 $f(x)=2^x-\sin x-1$. 注意到 $y=2^x-1$ 在 $x\to -\infty$ 时,$y\to -1$,因此函数 $f(x)$ 有无穷多个负实数零点.严格证明如下:\[\begin{split} f\left(-\dfrac{(2k-1)\pi}2\right)&=2^{-\frac{(2k-1)\pi}2}>0,\\ f\left(-\dfrac{(2k+1)\pi}2\right)&=2^{-\frac{(2k+1)\pi}2}-2<0,\end{split}\]其中 $k\in \mathbb N^{\ast}$.因此在每个形如 $\left(-\dfrac{(2k+1)\pi}2,-\dfrac{(2k-1)\pi}2\right)$ 的区间上均存在 $f(x)$ 的零点,因此题中方程有无穷多个负实数解,选项 $\boxed{B}$ 正确. 当 $x\geqslant 1$ 时,有\[f(x)\geqslant 2^1-1-1=0,\]且等号无法取得,因此方程的实数解小于 $1$,选项 $\boxed{D}$ 正确. 接下来考虑函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 上的零点情况.函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\ln 2\cdot 2^x-\cos x,\]该函数为 $(0,1)$ 上的单调递增函数,且\[f'(0)=\ln 2-1<0,\quad f'(1)=\ln 2\cdot 2-\cos 1>0,\]因此函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上先单调递减,再单调递增,结合 $f(0)=0$,$f(1)>0$,可得函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上有唯一零点,选项 $\boxed{A}$ 错误,选项 $\boxed{C}$ 正确.

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