若正整数 $n$ 满足：给定不限数量的 $5,n,n+1$ 分的邮票，使得 $91$ 分是最大的不能被直接拼出的邮费，则所有这样的正整数 $n$ 的和为_______．
已知 $p=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{9}\right)$ 是 $1,2,\cdots,9$ 的一个排列，设 $s(p)$ 是三个三位数 $\overline{a_1a_2a_3},\overline{a_4a_5a_5},\overline{a_6a_7a_8}$ 的和．设 $m$ 是个位数为 $0$ 的 $s(p)$ 的最小值，而 $n$ 是使 $s(p)$ 取最小值 $m$ 的排列 $p$ 的个数，则 $|m-n|=$ _______．
设正八边形 $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$ 内接于面积为 $1$ 的圆．点 $P$ 在圆内且由 $PA_1,PA_2$ 及劣弧 $A_1A_2$ 围成的区域面积为 $\dfrac 17$，由 $PA_3,PA_4$ 及劣弧 $A_3A_4$ 围成的区域面积为 $\dfrac 19$，由 $PA_6,PA_7$ 及劣弧 $A_6A_7$ 围成的区域面积为 $\dfrac 18-\dfrac{\sqrt 2}n$，其中 $n$ 为正整数，则 $n=$_______．
$\triangle ABC$ 的三边长 $AB=7$，$BC=8$，$CA=9$．圆 $\omega_1$ 过点 $B$ 且与直线 $AC$ 且于点 $A$，圆 $\omega_2$ 过点 $C$ 且与直线 $AB$ 切于点 $A$．设 $K$ 是圆 $\omega_1$ 与圆 $\omega_2$ 的不同于 $A$ 的交点，$AK$ 的最简表示为 $\dfrac pq$，则 $p+q=$ _______．
已知所有项之和为 $360$ 的递增有限正整数数列 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 满足每一项都能整除紧接其后的一项（我们认为单独的一个数 $360$ 也是符合条件的数列），则这样的数列的个数为 _______．
已知锐角 $\theta$ 满足对任意非负整数 $n$，都有\[\tan(2^n\theta)\begin{cases} >0,&n\text{ 为 }3\text{ 的倍数},\\ <0,&n\text{ 不为 }3\text{ 的倍数},\end{cases}\]$\theta$的最简分数表示为$\dfrac pq$，则$p+q=$ _______．
$\triangle ABC$ 的边长分别为 $AB=120$，$BC=220$，$AC=180$．直线 $\ell_A,\ell_B,\ell_C$ 分别平行于 $BC,AC,AB$，且被 $\triangle ABC$ 截得的线段长分别为 $55,45,15$，则 $\ell_A,\ell_B,\ell_C$ 围成的三角形的周长为_______．
已知多项式 $f(z)=az^{2018}+bz^{2017}+cz^{2016}$ 的系数为不超过 $2019$ 的实数，且\[f\left(\dfrac{1+\sqrt{3} {\rm i}}{2}\right)=2015+2019 \sqrt{3}{\rm i},\]则 $f(1)=$ _______．
已知 $a,b,c>0$． 若 $a+b+c=1$，
1、求证：$a^2+b^2+c^2\geqslant a^3+b^3+c^3+2(ab+bc+ca)^2$．
2、若 $a+b+c=3$，求 $\dfrac 49(ab+bc+ca)+\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac1{c+2}$ 的最大值．
如图，在矩形 $ABCD$ 中，$E,F$ 分别在边 $AB,BC$ 上，等腰三角形 $DEF$ 的底边 $DE$ 上的高为 $FG$ 且 $DE=FG$．若 $\triangle ADE$ 和 $\triangle CDF$ 的面积均为 $20$，则 $\triangle BEF$ 的面积为_______．
