每日一题[2180]拼邮票

若正整数 $n$ 满足:给定不限数量的 $5,n,n+1$ 分的邮票,使得 $91$ 分是最大的不能被直接拼出的邮费,则所有这样的正整数 $n$ 的和为_______.

答案    $71$.

解析    我们有引理:当 $a,b$ 是互素的正整数时,不能用 $ma+nb$($m,n\in\mathbb N$)表示的最大正整数为 $ab-a-b$.

若 $5\mid n$,则\[5(n+1)-5-(n+1)=91\iff n=23,\]不符合题意 若 $5\mid (n+1)$,则\[5n-n-5=91\iff n=24,\]符合题意.

若 $5\nmid n$ 且 $5\nmid (n+1)$,此时有\[5n-n-5\geqslant 91\implies 25\leqslant n\leqslant 90.\] 由于 $91$ 不可拼出,于是拼 $96$ 的方案不包含 $5$,设拼 $96$ 时用了 $k$ 张邮票,则\[25k\leqslant nk\leqslant 96\leqslant (n+1)k\leqslant 91k,\]于是可能的解为\[(k,n)=(2,47),(2,48),(3,31),(3,32),(4,23),\]

验证如下:

$n=47$ 时,符合;

$n=48$ 时,无法拼出 $92$;

$n=31$ 时,$91=31+5\cdot 12$,可以拼出 $91$;

$n=32$ 时,$91=33\cdot 2+5\cdot 5$,可以拼出 $91$;

$n=23$ 时,$91=24\cdot 2+23+5\cdot 4$,可以拼出 $91$.

综上所述,所有符合题意的 $n$ 为 $24,47$,和为 $24+47=71$.

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