每日一题[2179]三足鼎立

已知 $p=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{9}\right)$ 是 $1,2,\cdots,9$ 的一个排列,设 $s(p)$ 是三个三位数 $\overline{a_1a_2a_3},\overline{a_4a_5a_5},\overline{a_6a_7a_8}$ 的和.设 $m$ 是个位数为 $0$ 的 $s(p)$ 的最小值,而 $n$ 是使 $s(p)$ 取最小值 $m$ 的排列 $p$ 的个数,则 $|m-n|=$ _______.

答案    $162$.

解析    根据题意,有\[s(p)=100(a_1+a_4+a_7)+10(a_2+a_5+a_8)+(a_3+a_6+a_9),\]而 $a_3+a_6+a_9$ 只可能为 $10$ 或 $20$. 若 $a_3+a_6+a_9=10$,则\[(a_1+a_4+a_7)+(a_2+a_5+a_8)=45-10=35,\]从而\[s(p)=90(a_1+a_4+a_7)+360\geqslant 90(1+2+3)+360=900.\] 若 $a_3+a_6+a_9=20$,则\[(a_1+a_4+a_7)+(a_2+a_5+a_8)=45-20=25,\]从而\[s(p)=90(a_1+a_4+a_7)+270\geqslant 90(1+2+3)+270=810,\]等号当且仅当 $\{a_1,a_4,a_7\}=\{1,2,3\}$ 且\[\{a_3,a_6,a_9\}=\{4,7,9\},\{5,6,9\},\{5,7,8\},\]时取得. 综上所述,有 $m=810$,$n=3!\cdot 3!\cdot (3\cdot 3!)=648$,从而 $|m-n|=|810-648|=162$.

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