每日一题[2417]二次剩余

设 $a,b,c$ 是正整数,$p$ 是素数,$p\geqslant 5$ 且 $p\mid a^{\frac{p-1}2}+b^{\frac{p-1}2}+c^{\frac{p-1}2}$,证明:$p\mid abc$.

解析    用反证法,若 $p\nmid abc$,则 $p\nmid a,b,c$,进而 $p$ 与 $a,b,c$ 都互质.由费马小定理有 $p\mid a^{p-1}-1$,即\[p\mid \left(a^{\frac {p-1}2}-1\right)\left(a^{\frac{p-1}2}+1\right),\]而\[\left(a^{\frac{p-1}2}-1,a^{\frac{p-1}2}+1\right)=\left(a^{\frac{p-1}2}-1,2\right)\leqslant 2,\]故 $a^{\frac{p-1}2}-1$ 和 $a^{\frac{p-1}2}+1$ 中恰有一个数是 $p$ 的倍数,从而 $a^{\frac{p-1}2}\equiv \pm 1\pmod p$,因此\[a^{\frac{p-1}2}+b^{\frac{p-1}2}+c^{\frac{p-1}2}\in\{-3,-1,1,3\},\]而 $p$ 是不小于 $5$ 的质数,与 $p\mid a^{\frac{p-1}2}+b^{\frac{p-1}2}+c^{\frac{p-1}2}$ 矛盾,因此 $p\mid abc$.

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