每日一题[2425]寻找二

已知 $C_n$ 是 $\left(\sqrt 3+1\right)^{2n}$ 的整数部分,求证:$C_n+1\mid 2^{n+1}$.

解析    根据题意,有\[C_n=\left[\left(\sqrt 3+1\right)^{2n}\right]=\left[\left(4+2\sqrt 3\right)^n\right],\]而\[\left(\sqrt 3+1\right)^{2n}+\left(\sqrt 3-1\right)^{2n}\in\mathbb Z,\]于是\[\begin{split} C_n+1&=\left(4+2\sqrt 3\right)^n+\left(4-2\sqrt 3\right)^n\\ &=2\sum_{k=0}^{\left[\dfrac n 2 \right]}\dbinom{n}{2k}\cdot 4^{n-2k}\cdot \left(2\sqrt 3\right)^{2k}\\ &=2^{n+1}\sum_{k=0}^{\left[\dfrac n 2 \right]}\dbinom{n}{2k}\cdot 2^{n-2k}\cdot 3^k,\end{split}\]因此 $C_n+1\mid 2^{n+1}$,命题得证.

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