每日一题[2416]传球与环染色

设 $k$($k\geqslant 3$)个人进行相互传球的游戏,每个拿球的人等可能的把球传给其他人中的任何一位,若初始时球在甲手中,则第 $n$ 次传球后,球又回到甲手中的概率为_______.

答案    $\dfrac{(k-1)^{n-1}+(-1)^n}{k(k-1)^{n-1}}$.

解析    根据环染色问题的相关结论,第 $n$ 次传球后,球又回到甲手中的概率为\[\dfrac{a_n}{k(k-1)^{n}}=\dfrac{(k-1)^n+(k-1)\cdot (-1)^n}{k(k-1)^{n}}=\dfrac{(k-1)^{n-1}+(-1)^n}{k(k-1)^{n-1}}.\]

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