如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形，$\angle A B C=120^{\circ}$，$ A B=1$，$B C=4$，$P A=\sqrt{15}$，$M, N$ 分别为 $B C, P C$ 的中点，$P D \perp D C$，$P M \perp M D$．
1、证明：$A B \perp P M$．
2、求直线 $A N$ 与平面 $P D M$ 所成角的正弦值．
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1$，$a_{n+1}=\dfrac{a_{n}}{1+\sqrt{a_{n}}}$（$n \in \mathbb{N}^{*}$）．记数列 $ \left\{a_{n}\right\} $ 的前 $ n $ 项和为 $ S_{n}$，则（ ）
A．$\dfrac{3}{2}<S_{100}<3$
B．$3<S_{100}<4$
C．$4<S_{100}<\dfrac{9}{2}$
D．$\dfrac{9}{2}<S_{100}<5$
已知 $\alpha, \beta, \gamma$ 是互不相同的锐角，则在 $\sin \alpha \cos \beta, \sin \beta \cos \gamma, \sin \gamma \cos \alpha$ 三个值中，大于 $\dfrac{1}{2}$ 的个数的最大值是（ ）
A．$0$
B．$1$
C．$2$
D．$3$
如果对任意 $x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}$，当 $x_{1}-x_{2} \in S$ 时，都有 $f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right) \in S$，则称 $f(x)$ 是 $S$ 关联的．
1、判断和证明 $f(x)=2 x-1$ 是 $\mathbb{Z}^{+}$ 关联的吗？是 $[0,1]$ 关联的吗？
2、$f(x)$ 是 $\{3\}$ 关联的，在 $[0,3)$ 上有 $f(x)=x^{2}-2 x$，解不等式 $2 \leqslant f(x) \leqslant 3$．
3、“$f(x)$ 是 $\{1\}$ 关联的，且是 $[0,+\infty)$ 关联的”当且仅当“$f(x)$ 是 $[1,2]$ 关联的”．
椭圆 $\dfrac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$，$F_{1}, F_{2}$ 分别为左右焦点，过点 $P(m, 0)$（$m<-\sqrt{2}$）的直线交椭圆于点 $A, B$ 且点 $A, B$ 在 $x$ 轴的上方，$A$ 在 $P, B$ 的中间．
1、若 $B$ 是上顶点，$\left|\overrightarrow{B F_{1}}\right|=\left|\overrightarrow{P F_{1}}\right|$，求 $m$．
2、若 $\overrightarrow{F_{1} A} \cdot \overrightarrow{F_{2} A}=\dfrac{1}{3}$，且 $O$ 到 $l$ 的距离为 $\dfrac{4\sqrt{15}}{15} $，求直线 $l$ 的方程．
3、求证：对任意的 $m<-\sqrt{2}$，使得 $F_{1} A \parallel B F_{2}$ 的直线有且仅有一条．
两两不同的 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 满足\[x_{1}+y_{1}=x_{2}+y_{2}=x_{3}+y_{3},\]且满足 $x_{1}<y_{1}$，$x_{2}<y_{2}$，$x_{3}<y_{3}$，$x_{1} y_{1}+x_{3} y_{3}=2 x_{2} y_{2}>0$，下列一定成立的是（ ）
A．$x_{1}+x_{3}>2 x_{2}$
B．$x_{1}+x_{3}<2 x_{2}$
C．$x_{1} x_{3}>x_{2}^{2}$
D．$x_{1} x_{3}<x_{2}^{2}$
函数 $f(x)=2+3 \sin x, x \in\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$，对任意 $x_{1} \in\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$，都存在 $x_{2} \in\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$ 使得 $f\left(x_{1}\right)+2 f\left(x_{2}+\theta\right)=3$ 成立，则 $\theta$ 可以是（ ）
A．$\dfrac{3\pi}{5}$
B．$\dfrac{4\pi}{5}$
C．$\dfrac{6\pi}{5}$
D．$\dfrac{7\pi}{5}$
已知 $a_{i} \in \mathbb{N}^{*}$（$i=1,2, \cdots, 9$），对任意的 $k \in \mathbb{N}^{*}(2 \leqslant k \leqslant 8)$，$a_{k}=a_{k-1}+1$ 或 $a_{k}=a_{k+1}-1$ 中有且仅有一个成立，且 $a_{1}=6$，$a_{9}=9$，则 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{9}$ 的最小值为_______．
『28510733』给定正整数 $n\geqslant 2$．求证：存在正整数 $m$ 且 $\left[\dfrac n2\right]\leqslant m\leqslant n-1$，使方程\[\dfrac{a_m}{m+1}+\dfrac{a_{m+1}}{m+2}+\cdots+\dfrac{a_{n-1}}{n}=\dfrac{1}{[1,2,\cdots,n]}\]有满足 $a_m>0$ 的整数解 $(a_m,a_{m+1},\cdots,a_{n-1})$．
已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）过点 $A(0,-2)$，以四个顶点围成的四边形面积为 $4\sqrt 5$．
1、求椭圆 $E$ 的标准方程．
2、过点 $P(0,-3)$ 的直线 $l$ 的斜率为 $k$，交椭圆 $E$ 于不同的两点 $B,C$，直线 $AB,AC$ 交 $y=-3$ 于点 $M,N$，若 $|PM|+|PN|\leqslant 15$，求 $k$ 的取值范围．
