已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）过点 $A(0,-2)$，以四个顶点围成的四边形面积为 $4\sqrt 5$．
1、求椭圆 $E$ 的标准方程．
2、过点 $P(0,-3)$ 的直线 $l$ 的斜率为 $k$，交椭圆 $E$ 于不同的两点 $B,C$，直线 $AB,AC$ 交 $y=-3$ 于点 $M,N$，若 $|PM|+|PN|\leqslant 15$，求 $k$ 的取值范围．
解析
1、根据题意，有 $b=2$，以四个顶点围成的四边形面积为\[\dfrac 12\cdot 2a\cdot 2b=2ab=4\sqrt 5\implies a=\sqrt 5,\]因此椭圆 $E$ 的标准方程为 $\dfrac{x^2}5+\dfrac{y^2}4=1$．
2、直线 $l:y=kx-3$，设 $B(x_1,kx_1-3)$，$C(x_2,kx_2-3)$，$M(x_3,-3)$，$N(x_4,-3)$，则根据 $AM$ 与 $AB$ 斜率相等，有\[\dfrac {(kx_1-3)+2}{x_1}=\dfrac {-3+2}{x_3}\iff \dfrac{1}{x_1}=k+\dfrac{1}{x_3},\]类似的，有\[\dfrac 1{x_2}=k+\dfrac{1}{x_4},\]联立直线 $l$ 的方程与椭圆方程，可得\[\left(\dfrac 14k^2+\dfrac 15\right)x^2-\dfrac 32kx+\dfrac 54=0,\]因此 $x_3,x_4$ 是关于 $x$ 的方程\[\dfrac 54\left(k+\dfrac 1x\right)^2-\dfrac 32k\left(k+\dfrac1x\right)+\dfrac 14k^2+\dfrac 15=0\]即\[\dfrac 15x^2+kx+\dfrac 54=0\]的两个实根．判别式\[\Delta=k^2-1> 0\iff |k|>1.\]注意到 $x_3\cdot x_4=\dfrac {25}4$，于是 $x_3,x_4$ 同号，进而有\[|PM|+|PN|=|x_3|+|x_4|=|x_3+x_4|=|5k|\leqslant 15\iff |k|\leqslant 3,\]因此实数 $k$ 的取值范围是 $[-3,-1)\cup(1,3]$．