每日一题[2375]消元

两两不同的 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 满足\[x_{1}+y_{1}=x_{2}+y_{2}=x_{3}+y_{3},\]且满足 $x_{1}<y_{1}$,$x_{2}<y_{2}$,$x_{3}<y_{3}$,$x_{1} y_{1}+x_{3} y_{3}=2 x_{2} y_{2}>0$,下列一定成立的是(       )

A.$x_{1}+x_{3}>2 x_{2}$

B.$x_{1}+x_{3}<2 x_{2}$

C.$x_{1} x_{3}>x_{2}^{2}$

D.$x_{1} x_{3}<x_{2}^{2}$

答案    A.

解析    不妨设 $(x_i,y_i)=(m-d_i,m+d_i)$,$d_i>0$,其中 $i=1,2,3$,且 $d_1,d_2,d_3$ 两两不同,于是\[x_{1} y_{1}+x_{3} y_{3}=2 x_{2} y_{2}>0,\]也即\[(m-d_1)(m+d_1)+(m-d_3)(m+d_3)=2(m+d_2)(m-d_2)>0,\]也即\[d_1^2+d_3^2=2d_2^2<2m^2\implies d_2=\sqrt{\dfrac{d_1^2+d_3^2}2}.\]此时\[x_1+x_3-2x_2=2d_2-d_1-d_3=2\left(\sqrt{\dfrac{d_1^2+d_3^2}2}-\dfrac{d_1+d_3}2\right)>0,\]且\[\begin{split} x_1x_3-x_2^2&=\big(2d_2-(d_1+d_3)\big)m+d_1d_3-d_2^2\\ &=2\left(\sqrt{\dfrac{d_1^2+d_3^2}2}-\dfrac{d_1+d_3}2\right)m-\dfrac{(d_1-d_3)^2}2,\end{split}\]取\[m=\dfrac{(d_1-d_3)^2}{4\left(\sqrt{\dfrac{d_1^2+d_3^2}2}-\dfrac{d_1+d_3}2\right)},\]则有 $x_1x_3=x_2^2$,如\[\big(\sqrt 5+1\big)+\big(\sqrt 5+3\big)=2+\big(2\sqrt 5+2\big)=\big(\sqrt 5-1\big)+\big(\sqrt 5+5\big),\]此时 $x_1x_3=x_2^2$ 综上所述,只有选项 $\boxed{A}$ 符合题意.

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