每日一题[2374]滑动窗口

函数 $f(x)=2+3 \sin x, x \in\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$，对任意 $x_{1} \in\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$，都存在 $x_{2} \in\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$ 使得 $f\left(x_{1}\right)+2 f\left(x_{2}+\theta\right)=3$ 成立，则 $\theta$ 可以是（       ）

A．$\dfrac{3\pi}{5}$

B．$\dfrac{4\pi}{5}$

C．$\dfrac{6\pi}{5}$

D．$\dfrac{7\pi}{5}$

答案    D．

解析    根据题意，有

$$f(x_2+\theta)=\dfrac{3-f(x_1)}2\iff 2+3\sin(x_2+\theta)=\dfrac{1-3\sin x_1}2,$$ 也即 $$\sin(x_2+\theta)=-\dfrac{1+\sin x_1}2,$$ 当 $x_1$ 取遍 $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$ 时，右侧取遍 $\left[-1,-\dfrac 12\right]$ 内的实数，因此 $\left[\theta,\theta+\dfrac{\pi}2\right]$ 是 $\left[-\dfrac{\pi}2+2k\pi,-\dfrac{\pi}6+2k\pi\right]$ 或 $\left[-\dfrac{5\pi}6+2k\pi,-\dfrac{\pi}2+2k\pi\right]$ 的某个集合的超集，其中 $k\in\mathbb Z$．经验证，只有选项 $\boxed{D}$ 符合．