嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 $\left\{b_{n}\right\}$：\[b_{1}=1+\frac{1}{\alpha_{1}}, \quad b_{2}=1+\frac{1}{\alpha_{1}+\frac{1}{\alpha_{2}}}, \quad b_{3}=1+\frac{1}{\alpha_{1}+\frac{1}{\alpha_{2}+\frac{1}{\alpha_{3}}}}, \cdots,\]依此类推，其中 $\alpha_{k} \in \mathbb{N}^{*}$（$k=1,2, \cdots$），则（ ）
A．$b_{1}<b_{5}$
B．$b_{3}<b_{8}$
C．$b_{6}<b_{2}$
D．$b_{4}<b_{7}$
正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $1$，$E,F,G,H$ 分别是正方形 $A_1B_1C_1D_1$ 四边的中点．在 $A,B,C,D,E,F,G,H$ 这 $8$ 个点中任取 $3$ 个点组成三角形，这些三角形按不同的面积分类，共有_______类，其中最大的面积等于_______．
设 $a,b,c$ 是三角形 $ABC$ 的三边长，且 $a+b+c=1$，则 $a^2+b^2+c^2+4abc$ 的取值范围是_______．
在 $\triangle ABC$ 中，设 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ 且 $4a^2=b^2+2c^2$，若 $\triangle ABC$ 的面积为 $S$，则 $\dfrac{S}{a^2}$ 的最大值是_______．
对于定义域为 $A$ 的函数 $f(x)$，如果任意的 $x_1,x_2\in A$，当 $x_1<x_2$ 时，都有 $f(x_1)<f(x_2)$，则称函数 $f(x)$ 是 $A$ 上的严格增函数；函数 $f(k)$ 是在 $\mathbb N^{\ast}$ 上定义，函数值也在 $\mathbb N^{\ast}$ 中的严格增函数，并且满足条件 $f(f(k))=3k$．
1、证明：$f(3k)=3f(k)$．
2、求 $f(3^{k-1})$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）的值．
3、是否存在 $p$ 个连续的自然数，使得它们的函数值依次也是连续的自然数；若存在，找出所有 $p$ 值，若不存在，请说明理由．
已知 $\alpha \in \mathbb R$，如果集合 $\{\sin \alpha,\cos {2\alpha}\}=\{\cos \alpha,\sin{2\alpha}\}$，则所有符合要求的角 $\alpha$ 构成的集合为_______．
对于 $n$ 元集合 $A$，定义 $A$ 的子集族 $M(A)=\{X\mid X\subseteq A\}$．若 $M(A)$ 的子集 $P$ 满足：对任意 $X_1,X_2\in P$，$X_1\cap X_2\in P$ 且 $X_1\cup X_2\in P$，且 $\varnothing,A\in P$，则称 $P$ 对交并运算封闭．那么对 $A=\{a,b,c\}$，满足 $\{a,b\}\in P$ 且对交并运算封闭的集合 $P$ 的个数为（ ）
A．$8$
B．$10$
C．$12$
D．前三个答案都不对
从 $1,2,\cdots,2018$ 中取 $k$ 个不同的数，其中任意 $2$ 个数的商不等于 $\dfrac 32$，那么 $k$ 的最大值为_______．
已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{1-x}-\dfrac 1x+x$，设 $x_1,x_2,x_3$ 是曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=a$ 的三个交点的横坐标，且 $x_1<x_2<x_3$，则（ ）
A．存在实数 $a$，使得 $x_2-x_1>1$
B．任给实数 $a$，都有 $x_3-x_2>1$
C．存在实数 $a$，使得 $x_3-x_2>3$
D．任给实数 $a$，都有 $x_3-x_1>3$
已知集合 $S=\{0,1,2,3,4,5\}$，$A$ 是 $S$ 的一个子集，当 $x\in A$ 时，若有 $x-1\notin A$ 且 $x+1\notin A$，则称 $x$ 为 $A$ 的一个孤立元素，则 $S$ 的非空子集中，没有孤立元素的个数为（ ）
A．$17$
B．$18$
C．$19$
D．$20$
