方程 $ax^2+b|x|+c=0$（$a,b,c\in{\mathbb R}$，$a\neq0$）在复数集内不同的根的个数为（ ）
A．$2$ 或 $4$ 个
B．至多 $4$ 个
C．至多 $6$ 个
D．可能为 $8$ 个
已知 $\triangle A B C$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，其面积为 $\dfrac{c}{2}(a-b)$，其外接圆半径 $R=2$，且 $$ 4\left(\sin ^{2} A-\sin ^{2} B\right)=\left(\sqrt{3} a-b\right) \sin B, $$ 则 $\sin \dfrac{A-B}{2}+\sin \dfrac{C}{2}=$ （ ）
A．$\dfrac {\sqrt 2}2$
B．$\dfrac {\sqrt 3}2$
C．$1$
D．前三个答案都不对
已知 $\dfrac{z}{2}$ 与 $\dfrac{2}{z}$ 的实部和虚部均属于 $[-1,1]$，则 复数 $z$ 在复平面上形成轨迹的面积为 $a+b\pi$，其中 $a,b\in\mathbb Z$，则 $a+b=$（ ）
A．$8$
B．$10$
C．$12$
D．前三个答案都不对
已 知 $a, b \in \mathbb{R}$，$ z_{1}=5-a+(6-4 b) \mathrm{i}$，$z_{2}=2+2 a+(3+b) \mathrm{i}$，$z_{3}=3-a+(1+3 b) {\rm i}$，当 $\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+\left|z_{3}\right|$ 最小时，$3 a+2 b=$（ ）
A．$1$
B．$2$
C．$3$
D．前三个答案都不对
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 对任意 $n \in \mathbb{N}^{*}$ 且 $n \geqslant 2$，均存在正整数 $i \in[1, n-1]$，满足 $a_{n+1}=2 a_{n}-a_{i}$，$a_{1}=1$，$a_{2}=3$．
1、求 $a_{4}$ 的可能值．
2、命题 $p$：若 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{8}$ 成等差数列，则 $a_{9}<30$，证明 $p$ 为真，同时写出命题 $p$ 的逆命题 $q$，并判断命题 $q$ 是真是假，说明理由．
3、若 $a_{2 m}=3^{m}$（$m \in \mathbb N^{*}$）成立，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式．
设集合 $\Omega=\left\{(x, y)\mid (x-k)^{2}+\left(y-k^{2}\right)^{2}=4|k|, k \in \mathbb{Z}\right\}$，有以下两个命题：
① 存在直线 $l$，使得集合 $\Omega$ 中不存在点在 $l$ 上，而存在点在 $l$ 两侧；
② 存在直线 $l$，使得集合 $\Omega$ 中存在无数点在 $l$ 上； 则（ ）
A．① 成立，② 成立
B．① 成立，② 不成立
C．① 不成立，② 成立
D．① 不成立，② 不成立
设函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=f\left(\dfrac{1}{x+1}\right)$，定义域为 $D=[0,+\infty)$，值域为 $A$，若对于任何满足条件的函数 $f(x)$，均有 $A\subseteq\{y \mid y=f(x), x \in[0, a]\}$，则参数 $a$ 的取值范围为_______．
答案 $\left[\dfrac{-1+\sqrt5}2,+\infty\right)$．
解析 设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}=\dfrac{1}{a_n+1}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），设集合 $D(t)$ 为当 $a_1=t$ 时数列 $\{a_n\}$ 中的所有项构成的集合，且\[A(t)=\{y\mid y=f(x),x\in D(t)\},\]则 $A(t)=\{f(t)\}$．记方程 $ x=\dfrac1{x+1} $ 的解为 $ x_0=\dfrac{-1+\sqrt 5}2$，则\[D(x_0)=\{x_0\},\]且当 $t\ne x_0$ 时，有\[x_0\notin D(t),\]因此若对于任何满足条件的函数 $f(x)$，均有 $A\subseteq\{y \mid y=f(x), x \in[0, a]\}$，则\[f(x_0)\in \{y \mid y=f(x), x \in[0, a]\}\implies x_0\in [0,a],\]于是 $a\geqslant x_0$． 当 $a\geqslant x_0$ 时，则当 $a_2\geqslant x_0$ 时，有 $a_3=\dfrac{1}{a_2+1}\in[0,x_0]$，这样就有\[\bigcup_{t\in [x_0,+\infty)}A(t)\subseteq \bigcup_{t\in [0,x_0]}A(t)\implies \bigcup_{t\in [0,x_0]}A(t)=A\implies \{y\mid y=f(x),x\in [0,x_0]\}=A,\]而 $[0,x_0]\subseteq [0,a]$，因此符合题意．
综上所述，参数 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{-1+\sqrt5}2,+\infty\right)$．
备注 事实上，由于当 $a_1\in [0,x_0]$ 时，$a_2=\dfrac{1}{a_1+1}\in[x_0,1]$，于是\[\bigcup_{t\in [0,x_0]}A(t)\subseteq\bigcup_{t\in [x_0,1]}A(t)\subseteq\bigcup_{t\in [x_0,+\infty)}A(t),\]因此\[\bigcup_{t\in [x_0,+\infty)}A(t)= \bigcup_{t\in [0,x_0]}A(t).\] 进一步，当 $D_0$ 为包含 $x_0$ 的任意区间时，就有\[A\subseteq \{y\mid y=f(x),x\in D_0\}.\]
已知凸四边形 $A B C D$ 满足：$A B=1$，$B C=2$，$C D=4$，$D A=3$，则其内切圆半径（ ）
A．最小值为 $\dfrac{2\sqrt 5}5$
B．最小值为 $\dfrac{\sqrt{15}}5$
C．最大值为 $\dfrac{2\sqrt 6}5$
D．前三个答案都不对
已知整数 $a,b,c,d$ 满足 $a+b+c+d=6$，则\[ a b+a c+a d+b c+b d+c d \] 的正整数取值个数为（ ）
A．$9$
B．$10$
C．$11$
D．前三个答案都不对
已知六位数 $\overline{abcdef}$，满足\[\dfrac{\overline{abcdef}}{\overline{def}}=\left(1+\overline{abc}\right)^{2},\]则所有满足条件的六位数的个数为( )
（$ \overline{def}$ 不必为三位数）
A．$3$
B．$4$
C．$5$
D．前三个答案都不对
