已知函数 $f\left( x \right) = \sin \left( {\omega x + \varphi } \right)$（$\omega > 0$，$0 < \varphi < {\mathrm \pi}$）的周期为 ${\mathrm \pi} $，图象的一个对称中心为 $\left( {\dfrac{\mathrm \pi} {4},0} \right)$，将函数 $f\left( x \right)$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 $ 2 $ 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移 $\dfrac{\mathrm \pi} {2}$ 个单位长度后得到函数 $g\left( x \right)$ 的图象．
1、求函数 $f\left( x \right)$ 与 $g\left( x \right)$ 的解析式．
2、是否存在 ${x_0} \in \left( {\dfrac{\mathrm \pi} {6},\dfrac{\mathrm \pi} {4}} \right)$，使得 $f\left( {x_0} \right),g\left( {x_0} \right),f\left( {x_0} \right)g\left( {x_0} \right)$ 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定 ${x_0}$ 的个数，若不存在，说明理由．
3、求实数 $a$ 与正整数 $n$，使得 $F\left( x \right) = f\left( x \right) + ag\left( x \right)$ 在 $\left( {0,n{\mathrm \pi} } \right)$ 内恰有 $ 2013 $ 个零点．
