每日一题[2829]与世隔绝

如图,椭圆的中心为原点 $O$,长轴在 $x$ 轴上,离心率 $e = \dfrac{\sqrt 2 }{2}$,过左焦点 ${F_1}$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于 $A,A'$ 两点,$\left| {AA'} \right| = 4$.

1、求该椭圆的标准方程.

2、取垂直于 $x$ 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 $P,P'$,过 $P,P'$ 作圆心为 $Q$ 的圆,使椭圆上的其余点均在圆 $Q$ 外.若 $PQ \perp P'Q$,求圆 $Q$ 的标准方程.

解析

1、本题考查椭圆的标准方程,利用椭圆的基本量表达条件求解即可.

设椭圆方程为 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$),则根据题意,有\[\begin{cases} \dfrac{2b^2}a=4,\\ \sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac{\sqrt 2}2,\end{cases}\iff \begin{cases} a=4,\\ b=2\sqrt 2,\end{cases}\]于是所求椭圆的标准方程为\[\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}8=1.\]

2、本题考查圆与椭圆的位置关系,通过联立将公共点转化为方程组的解加以求解即可.

设 $Q(m,0)$,则圆 $Q$ 的半径 $r(m)$ 为椭圆 $E$ 上的点到 $Q$ 点距离的最小值.设 $M(x,y)$ 是椭圆 $E$ 上一点,则\[\begin{split} MQ^2&=(x-m)^2+y^2\\ &=(x-m)^2+8\left(1-\dfrac{x^2}{16}\right)\\ &=\dfrac 12(x-2m)^2+8-m^2,\end{split}\]于是\[r(m)=\sqrt {8-m^2},|m|<2\]此时 $P,P'$ 的横坐标均为 $2m$,进而\[\sqrt {8\left(1-\dfrac{(2m)^2}{16}\right)}=|m|\iff m=\pm \dfrac{2\sqrt 6}3,\]进而圆 $Q$ 的标准方程为\[\left(x\pm\dfrac{2\sqrt 6}3\right)^2+y^2=\dfrac{16}3.\]

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