每日一题[2833]坐标驱动

如图,抛物线 ${C_1}:{x^2} = 4y$,${C_2}:{x^2} = - 2py$($ {p > 0} $).点 $M\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ 在抛物线 ${C_2}$ 上,过 $ M $ 作 $ {C_1} $ 的切线,切点为 $ A,B $($ M $ 为原点 $ O $ 时,$ A,B $ 重合于 $ O $).当 $ {x_0} = 1 - \sqrt 2 $ 时,切线 $ MA $ 的斜率为 $ - \dfrac{1}{2}$.

1、求 $ p$ 的值.

2、当 $ M $ 在 $ {C_2} $ 上运动时,求线段 $ AB $ 中点 $ N $ 的轨迹方程($ A,B $ 重合于 $ O $ 时,中点为 $ O $).

解析

1、本题考查抛物线的切线方程,以切点坐标为参数表达已知条件是解决问题的关键.

设 $A(4a,4a^2)$,$M(2pm,-2pm^2)$,则抛物线 $C_1$ 在点 $A$ 处的切线方程为\[4ax=2(y+4a^2)\iff 2ax-y-4a^2=0,\]其斜率为 $2a=-\dfrac 12$,于是 $a=-\dfrac 14$,从而 $A\left(-1,\dfrac 14\right)$,因此\[MA:-\dfrac 12x-y-\dfrac 14=0,\]进而\[\begin{cases} 2pm=1-\sqrt 2,\\ -\dfrac 12\cdot 2pm-(-2pm^2)-\dfrac14=0,\end{cases}\iff \begin{cases} p=2,\\ m=\dfrac{1-\sqrt 2}4,\end{cases}\]因此 $p$ 的值为 $2$.

2、本题考查抛物线的切点弦方程,以切点坐标为参数表达已知条件是解决问题的关键.

设 $A(4a,4a^2)$,$B(4b,4b^2)$,则 $N(2(a+b),2(a^2+b^2))$,直线\[AB:y=(a+b)x-4ab\iff 2(a+b)\cdot x=2(y+4ab),\]因此 $M\left(2(a+b),4ab\right)$,当 $M$ 在 $C_2$ 上运动时,有\[(2(a+b))^2=-4\cdot 4ab\iff (2(a+b))^2=-2((2(a+b))^2-4(a^2+b^2)),\]因此 $N$ 的轨迹方程为\[x^2=-2(x^2-2y)\iff x^2=\dfrac 43y,\]是焦点为 $\left(0,\dfrac 13\right)$,顶点为原点的抛物线.

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