已知函数 $f\left( x \right) = \left( {1 + x} \right){{\mathrm{e}}^{ - 2x}}$，$g\left( x \right) = ax + \dfrac{x^3}{2} + 1 + 2x\cos x$，
1、当 $x \in \left[ {0,1} \right]$ 时， 求证：$1 - x \leqslant f\left( x \right) \leqslant \dfrac{1}{1 + x}$．
2、若 $f\left( x \right) \geqslant g\left( x \right)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
解析
1、本题考查利用导数证明函数不等式，用分析法转化为指对数的常用放缩即可．
欲证结论为\[\forall x\in [0,1],~1-x\leqslant \dfrac{1+x}{{\rm e}^{2x}}\leqslant \dfrac{1}{1+x},\]即\[\forall x\in[0,1],~1+x\leqslant {\rm e}^x\leqslant \sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}},\]左侧为我们熟知的不等式．对于右侧，令 $x=\ln t$，则右侧不等式等价于\[\forall t\in [1,{\rm e}],~t^2\leqslant \dfrac{1+\ln t}{1-\ln t},\]也即\[\forall t\in [1,{\rm e}],~\ln t^2\geqslant \dfrac{2\left(t^2-1\right)}{t^2+1},\]亦为我们熟知的不等式．
2、本题考查不等式的恒成立问题，利用端点分析得到必要条件，然后展开分类论证即可．
令 $h(x)=f(x)-g(x)$，则 $h(0)=0$，且其导函数\[h'(x)={\rm e}^{-2x}\cdot (2x-1)-\dfrac 32x^2-a-2\cos x+2x\sin x,\]有\[h'(0)=-a-3,\]于是得到讨论分界点 $a=-3$． 容易证明\[\forall x\in [0,1],1-\dfrac 12x^2\leqslant \cos x\leqslant 1-\dfrac 12x^2+\dfrac{1}{24}x^4.\]
情形一 当 $a>-3$ 时，考虑到\[h(x)\leqslant \dfrac{1}{1+x}-ax-\dfrac 12{x^3}-1-2x\left(1-\dfrac 12x^2\right),\]也即\[h(x)\leqslant \dfrac{x}{2(x+1)}\cdot \left[x^3+2x^2-(2a+4)x-2a-6\right].\]而当 $x\in [0,1]$ 时，有\[x^3+2x^2-(2a+4)x-2a-6\leqslant -(2a+1)x-2a-6,\]于是\[\begin{split}\min_{0\leqslant x\leqslant 1}\{h(x)\}&\leqslant \min_{0\leqslant x\leqslant 1}\left\{x^3+2x^2-(2a+4)x-2a-6\right\}\\ &\leqslant \min_{0\leqslant x\leqslant 1}\left\{-(2a+1)x-2a-6\right\}\\ &\leqslant -2a-6\\ &<0,\end{split}\]不符合题意．
情形二 当 $a\leqslant -3$ 时，有\[\begin{split} h(x)&\geqslant 1-x-(-3)\cdot x-\dfrac 12x^3-1-2x\left(1-\dfrac 12x^2+\dfrac 1{24}x^4\right)\\ &=-\dfrac{1}{12}x^3\left(x^2-6\right)\\ &\geqslant 0,\end{split} \]符合题意．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left( { - \infty , - 3} \right]$．