设函数 $f(x)=a^x+{\rm e}^{-x}$（$a>1$）．
1、求证：$f(x)$ 有极值．
2、若 $x=x_0$ 时 $f(x)$ 取极值，且对任意正整数 $a$ 都有 $x_0 \in(m, n)$，其中 $m, n \in \mathbb Z$，求 $n-m$ 的最小值．
已知函数 $f(x)=a {\rm e}^x-{\rm e} x-a$（$a<{\rm e}$）．
1、若函数 $f(x)$ 的极小值为 $-1$，求 $a$ 的值．
2、若 $a=1$，证明：当 $x \geqslant 0$ 时，$f(x)+2 x-x \ln (x+1) \geqslant 0$ 成立．
设函数 $f(x)=\ln x-\dfrac{1}{2} a x^2-b x$，其中 $a, b \in \mathbb R$．
1、若 $b=1-a$，且 $x=1$ 是 $f(x)$ 的极大值点，求 $a$ 的取值范围．
2、当 $a=0$，$ b=-1$ 时，方程 $2 m f(x)=x^2$ 有唯一实数解，求正数 $m$ 的值．
已知函数 $f(x)={\rm e}^x-x-a x \ln (x+1)-1$．
1、若 $a=0$，求 $f(x)$ 的最小值．
2、函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处有极大值，求实数 $a$ 的取值范围．
已知 $f(x)=a^2 \ln x-\dfrac{1}{2} a x^2-\left(a^2-a\right) x$（$a \neq 0$）．
1、当 $a=1$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间．
2、若函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极大值，求实数 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x+a x^2-x$．
1、当 $a=0$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $A(0, f(0))$ 处的切线．
2、若 $x=0$ 为 $f(x)$ 的一个极小值点，求 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=x(\ln x-1)$，$g(x)=a x+b$（$a, b \in \mathbb R$）．
1、若 $a=1$ 时，直线 $y=g(x)$ 是曲线 $f(x)$ 的一条切线，求 $b$ 的值．
2、令 $\varphi(x)=f(x)-g(x)$．
① 若 $\dfrac{b}{a}=-{\rm e}$，讨论 $\varphi(x)$ 在 $\left[{\rm e}, {\rm e}^2\right]$ 的最大值；
② 若 $\varphi(x)$ 在区间 $\left[{\rm e}, {\rm e}^2\right]$ 上有零点，求 $a^2+4 b$ 的最小值．
已知函数 $f(x)=\dfrac{2}{3} x^3-m x^2+m^2 x$（$m \in \mathbb R$）的导函数为 $f^{\prime}(x)$．
1、若函数 $g(x)=f(x)-f^{\prime}(x)$ 存在极值，求 $m$ 的取值范围．
2、设函数 $h(x)=f^{\prime}\left(\mathrm{e}^x\right)+f^{\prime}(\ln x)$，对任意 $m \in\mathbb R$，若关于 $x$ 的不等式 $h(x) \geqslant m^2+k^2$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立，求正整数 $k$ 的取值集合．
已知关于 $x$ 的函数 $g(x)=\dfrac{2}{x}-a \ln x$（$a \in \mathbb R$），$f(x)=x^2+g(x)$．
1、试求函数 $g(x)$ 的单调区间．
2、若 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内有极值，试求 $a$ 的取值范围．
3、$a>0$ 时，若 $f(x)$ 有唯一的零点 $x_0$，试求不超过 $x_0$ 的最大整数．
已知函数 $f(x)=\ln x$．
1、若函数 $g(x)=f(x)-a x+\dfrac{1}{2} x^2$ 有两个极值点，求实数 $a$ 的取值范围．
2、若关于 $x$ 的方程 $f(x)=m(x+1)$（$m \in \mathbb Z$）有实数解，求整数 $m$ 的最大值．
