已知函数 $f(x)={\rm e}^x-x-a x \ln (x+1)-1$．
1、若 $a=0$，求 $f(x)$ 的最小值．
2、函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处有极大值，求实数 $a$ 的取值范围．
解析
1、当 $a=0$ 时，有 $f(x)={\rm e}^x-x^2-1$，于是其导函数\[f'(x)={\rm e}^x-1,\]于是函数 $f(x)$ 在 $(-1,0)$ 上单调递减，在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=0$ 处取得极小值，也为最小值，因此所求 $f(x)$ 的最小值为 $f(0)=0$．
2、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)={\rm e}^x-1-a\left(\ln (1+x)+\dfrac{x}{1+x}\right),\]其二阶导函数为\[f''(x)={\rm e}^x-\dfrac{a(2+x)}{(1+x)^2},\]函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处有极大值，于是\[\begin{cases} f'(0)=0,\\ f''(0)<0,\end{cases}\iff 1-2a<0,\]因此实数 $a$ 的取值范围是 $\left(\dfrac 12,+\infty\right)$．