已知函数 $f(x)=\dfrac{2}{3} x^3-m x^2+m^2 x$（$m \in \mathbb R$）的导函数为 $f^{\prime}(x)$．
1、若函数 $g(x)=f(x)-f^{\prime}(x)$ 存在极值，求 $m$ 的取值范围．
2、设函数 $h(x)=f^{\prime}\left(\mathrm{e}^x\right)+f^{\prime}(\ln x)$，对任意 $m \in\mathbb R$，若关于 $x$ 的不等式 $h(x) \geqslant m^2+k^2$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立，求正整数 $k$ 的取值集合．
解析
1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=2x^2-2mx+m^2,\]于是\[g(x)=\dfrac23x^3-(m+2)x^2+(m^2+2m)x-m^2,\]于是其导函数\[g'(x)=2x^2-2(m+2)+m^2+2m,\]该函数存在极值，于是 $g'(x)$ 有变号零点，因此\[\Delta=4(m+2)^2-8(m^2+2m)>0\iff 4-m^2>0\iff -2<m<2,\]因此实数 $m$ 的取值范围为 $(-2,2)$．
2、根据题意，有\[h(x)=2{\rm e}^{2x}-2m{\rm e}^x+2\ln^2x-2m\ln x+2m^2,\]于是\[\forall (m\in\mathbb R)\land (x\in\mathbb R^+),~2{\rm e}^{2x}-2m{\rm e}^x+2\ln^2x-2m\ln x+2m^2\geqslant m^2+k^2,\]于是\[\forall (m\in\mathbb R)\land (x\in\mathbb R^+),~k^2\leqslant m^2-2\left({\rm e}^x+\ln x\right)\cdot m+2{\rm e}^{2x}+2\ln^2x,\]即\[\forall (m\in\mathbb R)\land (x\in\mathbb R^+),~k^2\leqslant \left(m-{\rm e}^2-\ln x\right)^2+\left({\rm e}^x-\ln x\right)^2,\]即\[\forall x\in\mathbb R^+,~k\leqslant {\rm e}^x-\ln x,\]接下来估计 $p(x)={\rm e}^x-\ln x$ 的最小值．由 $p(x)$ 的导函数\[p'(x)={\rm e}^x-\dfrac1x,\]于是 $p(x)$ 的最小值为\[M={\rm e}^m-\ln m,\]其中 ${\rm e}^m-\dfrac 1m=0$ 即 $\ln m=-m$，因此 $M=m+\dfrac 1m$，由\[1-\dfrac 1m<\ln m=-m<m-1\implies \dfrac 12<m<\dfrac{-1+\sqrt 5}2,\]从而可得 $M\left(\sqrt 5,2.5\right)$，因此正整数 $k$ 的取值集合为 $\{1,2\}$．