已知函数 $f(x)=a {\rm e}^x-{\rm e} x-a$（$a<{\rm e}$）．
1、若函数 $f(x)$ 的极小值为 $-1$，求 $a$ 的值．
2、若 $a=1$，证明：当 $x \geqslant 0$ 时，$f(x)+2 x-x \ln (x+1) \geqslant 0$ 成立．
解析
1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=a{\rm e}^x-{\rm e},\]当 $a\leqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递减，没有极值；当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\left(-\infty,\ln\dfrac{\rm e}a\right)$ 上单调递减，在 $\left(\ln\dfrac{\rm e}{a},+\infty\right)$ 上单调递增，在 $x=\ln\dfrac{\rm e}a$ 处取得极小值 $f\left(\dfrac{\rm e}a\right)={\rm e}\ln a-a$，若函数 $f(x)$ 的极小值为 $-1$，则\[{\rm e}\ln a-a+1=0,\]记函数 $g(x)={\rm e}\ln x-x+1$，则其导函数\[g'(x)=\dfrac{{\rm e}-x}{x},\]因此 $g(x)$ 在 $(0,{\rm e})$ 上单调递增，又 $g(1)=0$，因此 $g(x)$ 在 $x\in(0,{\rm e})$ 上有唯一零点 $x=1$，所以实数 $a$ 的值为 $1$．
2、若 $a=1$，则题意即证明\[\forall x\geqslant 0,~{\rm e}^x+(2-{\rm e})x- x\ln (x+1)-1\geqslant 0,\]只需要证明\[\forall x\geqslant 0,~{\rm e}^x+(2-{\rm e})x- x^2-1\geqslant 0,\]设不等式左侧为函数 $h(x)$，则 $h(0)=h(1)=0$，其导函数\[h'(x)=2-{\rm e}+{\rm e}^x-2x,\]其二阶导函数\[h''(x)={\rm e}^x-2,\]于是 $h'(x)$ 在 $(0,\ln 2)$ 上单调递减，在 $(\ln 2,+\infty)$ 上单调递增，而 $h'(0)=3-{\rm e}>0$，$h'(1)=0$，于是 $h(x)$ 在 $(0,1)$ 上先增后减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，结合 $h(0)=h(1)=0$，可得在 $[0,+\infty)$ 上，有 $h(x)\geqslant 0$，命题得证．
备注 也可以通过\[\begin{split} \left({\rm e}^x+(2-{\rm e})x- x\ln (x+1)-1\right)'&=1-{\rm e}+{\rm e}^x+\dfrac1{1+x}-\ln(1+x)\\
&\geqslant 1-{\rm e}+\left(1+x+\dfrac 12x^2\right)+\dfrac1{1+x}-x\\
&=\dfrac 12x^2+\dfrac{1}{1+x}+2-{\rm e}\\
&>0\end{split}\]证明．