已知 $a>0$，函数 $f(x)=2\ln(ax)-x$，若函数 $F(x)=f(f(x))-x$ 恰有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（ ）
A．$\left(\dfrac1{\rm e},+\infty\right)$
B．$\left[\dfrac{1}{\rm e},+\infty\right)$
C．$\left({\rm e},+\infty\right)$
D．$\left[{\rm e},+\infty\right)$
已知椭圆 $C: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{1}{3}$，其右焦点为 $F$，左顶点为 $A$，点 $P$ 是椭圆 $C$ 上异于点 $A$ 的一个动点，且当 $P F \perp x$ 轴时，$\triangle A P F$ 的面积为 $\dfrac{16}{3}$．
1、求椭圆 $C$ 的标准方程．
2、若直线 $A P$ 交直线 $l: x=9$ 于点 $Q$，直线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $T$，证明：$\angle P F Q=\angle Q F T$．
已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，且 $f(x+1)$ 是偶函数，当 $0 \leqslant x \leqslant 1$ 时 $f(x)=-{\log _{2}}(x+1)$．设 $g(x)=|f(x)|+f(|x|)$，若关于 $x$ 的方程 $g(x)-mx-2=0$ 有 $5$ 个不同的实数解，则实数 $m$ 的取值范围是_______．
阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点 $M$ 与两个定点的距离之比为常数 $\lambda$（$\lambda>0$，$\lambda \neq 1$），那么点 $M$ 的轨迹为圆（人们称之为阿波罗尼斯圆）．在 $\triangle A B C$ 中，$B(-1,0)$，$C(1,0)$，$D$ 为 $A B$ 的中点，且 $|C D|=\dfrac{\sqrt{3}}{2}|A B|$，则 $\triangle A B C$ 面积的最大值为（ ）
A．$\sqrt{3}$
B．$2$
C．$2 \sqrt{2}$
D．$2 \sqrt{3}$
已知 $a+2^{a}=2$，$b+\cos (3 b)=3$，$c+\log _{4} c=6$，则 $a, b, c$ 的大小关系为（ ）
A．$a<c<b$
B．$a<b<c$
C．$b<a<c$
D．$b<c<a$
已知 $f(x), g(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的两个函数，其中 $f(x)$ 是奇函数，$f(2-x)=f(x)$，$g(2+x)=$ $g(x)$．当 $x \in(0,2]$ 时，$f(x)=\sqrt{1-(x-1)^{2}}$，$g(x)=\begin{cases} k(x+1),& 0<x \leqslant 1, \\ -\dfrac{1}{2}, &1<x \leqslant 2.\end{cases}$ 若关于 $x$ 的方程 $f(x)=$ $g(x)$ 在区间 $(0,5]$ 上有 $5$ 个不同的实数解，则实数 $k$ 的取值范围为_______．
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $A(-1,0)$，$B(1,0)$，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}=3$，设点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$．
1、求曲线 $C$ 的方程．
2、设点 $D(3,0)$，不与坐标轴垂直的直线 $l$ 与 $C$ 相交于不同的两点 $E, F$，若 $x$ 轴平分 $\angle E D F$，求证：$l$ 过定点．
已知函数 $f(x)=\dfrac{a}{a^{2} \mathrm{e}^{x}+1}$（$a \in \mathbb{R}$）．
1、若 $a=1$，证明：当 $x>0$ 时，$f(x)<\dfrac{1}{\mathrm{e} x}$．
2、讨论方程 $f(x)=\dfrac{2-x}{4}$ 的实数解的个数．
我们可以将正整数 $18$ 分解成两个正整数的乘积，共有 $1 \times 18,2 \times 9,3 \times 6$ 这三种形式，其中 $3 \times 6$ 是这三 种分解中两数差的绝对值最小的一种，称 $3 \times 6$ 为 $18$ 的最佳分解；当 $p \times q$（$p, q \in \mathbb{N}^{*}$）是正整数 $n$ 的最佳分解时，我们定义函数 $f *(n)=|p-q|$，例如 $f *(18)=|6-3|=3$，$f *(6)=|2-3|=1$；基于上述事实，下列说法错误的是（ ）
A．$f *(20)>f *(16)$
B．若 $f *(n)=3$，则 $n$ 的值可以是 $154$
C．$\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f *\left(4^{i}\right)=0$
D．$\displaystyle\sum_{i=1}^{10} f *(2 i-1)=82$
已知 $2021 \ln a=a+m$，$2021 \ln b=b+m$，其中 $a \neq b$，若 $a b<\lambda$ 恒成立，则实数 $\lambda$ 的取值范围为（ ）
A．$\left[\left(\dfrac{2021}{\mathrm{e}}\right)^{2},+\infty\right)$
B．$\left[2023^{2},+\infty\right)$
C．$\left[2021^{2},+\infty\right)$
D．$\left[(2021 \mathrm{e})^{2},+\infty\right)$
