每日一题[2662]参数与三角

在平面直角坐标系 $x O y$ 中,已知 $A(-1,0)$,$B(1,0)$,点 $P$ 满足 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}=3$,设点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$.

1、求曲线 $C$ 的方程.

2、设点 $D(3,0)$,不与坐标轴垂直的直线 $l$ 与 $C$ 相交于不同的两点 $E, F$,若 $x$ 轴平分 $\angle E D F$,求证:$l$ 过定点.

解析

1、设 $P(x,y)$,则\[\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}=3\iff (x+1,y)\cdot (x-1,y)=3\iff x^2+y^2=4,\]因此曲线 $C$ 的方程为 $x^2+y^2=4$.

2、设 $E(2\cos\alpha,2\sin\alpha)$,$F(2\cos\beta,2\sin\beta)$,$\alpha,\beta\in [0,2\pi)$ 且 $\dfrac{\alpha+\beta}2$ 不是 $\dfrac{\pi}2$ 的整数倍,则 $x$ 轴平分 $\angle EDF$ 即\[\dfrac{2\sin\alpha}{2\cos\alpha-3}+\dfrac{2\sin\beta}{2\cos\beta-3}=0\implies 2\sin(\alpha+\beta)-3(\sin\alpha+\sin\beta)=0,\]根据和差化积公式,可得\[2\sin\dfrac{\alpha+\beta}2 \left(2\cos\dfrac{\alpha+\beta}2-3\cos\dfrac{\alpha-\beta}2\right)=0\implies \dfrac{\cos\frac{\alpha-\beta}2}{\cos\frac{\alpha+\beta}2}=\dfrac 23,\]此时 $EF$ 与 $x$ 轴的交点 $P$ 的横坐标\[x_0=\dfrac{2\cos\alpha\cdot 2\sin\beta-2\cos\beta\cdot 2\sin\alpha}{2\sin\beta-2\sin\alpha}=\dfrac{2\sin(\alpha-\beta)}{\sin\alpha-\sin\beta}=\dfrac{2\cos\frac{\alpha-\beta}2}{\cos\frac{\alpha+\beta}2}=\dfrac 43,\]为定值,因此直线 $l$ 过定点 $\left(\dfrac 43,0\right)$,命题得证.

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