每日一题[2667]点驱动

已知椭圆 $C: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$($a>b>0$)的离心率为 $\dfrac{1}{3}$,其右焦点为 $F$,左顶点为 $A$,点 $P$ 是椭圆 $C$ 上异于点 $A$ 的一个动点,且当 $P F \perp x$ 轴时,$\triangle A P F$ 的面积为 $\dfrac{16}{3}$.

1、求椭圆 $C$ 的标准方程.

2、若直线 $A P$ 交直线 $l: x=9$ 于点 $Q$,直线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $T$,证明:$\angle P F Q=\angle Q F T$.

解析

1、当 $PF\perp x$ 轴时,有 $|PF|=\dfrac{b^2}a$,于是\[\begin{cases} \sqrt{1+\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac13,\\ \dfrac 12\cdot \left(\sqrt{a^2+b^2}+a\right)\cdot \dfrac{b^2}{a}=\dfrac{16}3,\end{cases}\iff \begin{cases} a^2=9,\\ b^2=8,\end{cases}\]于是椭圆 $C$ 的标准方程为 $\dfrac{x^2}9+\dfrac{y^2}8=1$.

2、设 $P(3\cos\theta,2\sqrt 2\sin\theta)$,则\[AP:x=\dfrac{3\cos\theta+3}{2\sqrt 2\sin\theta}y-3,\]从而 $Q\left(9,\dfrac{8\sqrt 2\sin\theta}{\cos\theta+1}\right)$,而 $F(1,0)$,$T(9,0)$,于是\[\dfrac{\overrightarrow{PF}\cdot \overrightarrow{FQ}}{\overrightarrow{PT}\cdot \overrightarrow{FQ}}=\dfrac{\left(3\cos\theta-1,2\sqrt 2\sin\theta\right)\cdot \left(8,\dfrac{8\sqrt 2\sin\theta}{\cos\theta+1}\right)}{(8,0)\cdot \left(8,\dfrac{8\sqrt 2\sin\theta}{\cos\theta+1}\right)}=\dfrac{3-\cos\theta}{8}=\dfrac{|PF|}{|FT|},\]因此 $\angle P F Q=\angle Q F T$,命题得证.

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