每日一题[2663]周期延拓

已知 $f(x), g(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的两个函数,其中 $f(x)$ 是奇函数,$f(2-x)=f(x)$,$g(2+x)=$ $g(x)$.当 $x \in(0,2]$ 时,$f(x)=\sqrt{1-(x-1)^{2}}$,$g(x)=\begin{cases} k(x+1),& 0<x \leqslant 1, \\ -\dfrac{1}{2}, &1<x \leqslant 2.\end{cases}$ 若关于 $x$ 的方程 $f(x)=$ $g(x)$ 在区间 $(0,5]$ 上有 $5$ 个不同的实数解,则实数 $k$ 的取值范围为_______.

答案    $\left[\dfrac 12,\dfrac{\sqrt 3}3\right)$.

解析    如图,关于 $x$ 的方程 $f(x)=g(x)$ 在区间 $(1,2]$ 上没有实数根,在区间 $(3,4]$ 上有 $1$ 个实数根,因此在区间 $(0,1],(4,5]$ 上的实数根个数均为 $2$.

考虑直线 $y=k(x+1)$ 与曲线 $y=\sqrt{1-(x-1)^2}$($0<x\leqslant 1$)(即圆 $(x-1)^2+y^2=1$ 的四分之一圆弧)的位置关系,当直线 $y=k(x+1)$ 过点 $(1,1)$ 时,其斜率 $k=\dfrac 12$;当直线 $y=k(x+1)$ 与曲线 $y=\sqrt{1-(x-1)^2}$($0<x\leqslant 1$)相切时,其斜率 $k$ 满足\[k^2+1-4k^2=0\iff k=\dfrac{\sqrt 3}3,\]因此所求实数 $k$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 12,\dfrac{\sqrt 3}3\right)$

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