已知函数 $f(x)=\ln\left(x-1\right)-k\left(x-1\right)+1$（$ k\in \mathbb R$）．
1、求函数 $f(x)$ 的单调区间．
2、若 $f(x)\leqslant 0$ 恒成立，试确定实数 $k$ 的取值范围．
3、证明：$\dfrac{\ln 2}{3}+\dfrac{\ln3}{4}+\cdots+\dfrac{\ln n}{n+1}<\dfrac{n\left(n-1\right)}{4}$（$n\in \mathbb N$，$n>1$）．
已知对任意 $x \in[0,1]$，均有 $\mathrm{e}^x+ax^3-a x^2-1\geqslant0$，实数 $a$ 的最大值为 $\mu$，证明 $: 5<\mu<\dfrac{26}{5}$．
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-x-a$，对于 $\forall x \in \mathbb{R} , ~f(x) \geqslant 0$ 恒成立．
1、求实数 $a$ 的取值范围．
2、证明：当 $x \in\left[0, \dfrac{\pi}{4}\right]$ 时，$\cos x+\tan x \leqslant \mathrm{e}^x$．
已知二次函数 $f(x)$ 满足 $f(x-2)=f(-x)$，$ f(-1)=1$，$ f(0)=2$，$g(x)=\mathrm{e}^x$．
1、求 $f(x)$ 的解析式．
2、求证：当 $x\geqslant 0$ 时，$2g(x)\geqslant f(x)$．
3、求证：$\dfrac{1}{2 g(1)+1}+\dfrac{1}{2 g(2)+2}+\cdots+\dfrac{1}{2 g(n)+n}<\dfrac{1}{2}$（$n \in \mathbb{N}^{\ast}$）．
设点 $M$ 为椭圆 $C:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 上的一动点，$A,B$ 分别为椭圆的左，右顶点．求证：当且仅当 $M$ 是椭圆的上顶点或下顶点时 $\triangle MAB$ 周长和面积取得最大值．
已知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的右顶点为 $A$，若以点 $A$ 为圆心，以 $b$ 为半径的圆与双曲线 $C$ 的一条渐近线交于 $M,N$ 两点，点 $O$ 为坐标原点，且 $\overrightarrow{OM}=5\overrightarrow{ON}$，则双曲线的离心率为_______．
已知函数 $f(x)=\ln x-\dfrac{1}{x}$，$ g(x)=a x+b$．
1、若函数 $h(x)=f(x)-g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围．
2、若直线 $g(x)=a x+b$ 是函数 $f(x)=\ln x-\dfrac{1}{x}$ 图象的切线，求 $a+b$ 的最小值．
3、当 $b=0$ 时，若 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的图象有两个交点 $A\left(x_1, y_1\right) , B\left(x_2, y_2\right)$，求证：$x_1 x_2>2 \mathrm{e}^2$．
已知函数 $f(x)=\ln x$，$g(x)=a x-1$（$a \in \mathbb{R}$）．
1、讨论函数 $h(x)=f(x)-g(x)$ 的单调性．
2、若函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的图象有两个不同的交点 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$（$x_1<x_2$）．
① 求实数 $a$ 的取值范围．
② 求证：$-1<y_1<0$，且 $\mathrm{e}^{y_1}+\mathrm{e}^{y_2}>2$（$\mathrm{e}$ 为自然对数的底数）．
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x\left(x^2-(a+2) x+a+3\right)$．
1、讨论 $f(x)$ 的单调性．
2、若 $f(x)$ 在 $(0,2)$ 有两个极值点 $x_1, x_2$，求证：$f\left(x_1\right) f\left(x_2\right)<4 \mathrm{e}^2$．
已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{2} x^2-a x+\ln x$（$a>0$）．
1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．
2、若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1 , x_2\left(x_1>x_2\right)$，且 $f\left(x_1\right)-x_1<\lambda x_2$（$\lambda \in \mathbb{R}$）恒成立，求 $\lambda$ 的取值范围．
